Grupo de homeotopía

En la topología el concepto de grupo de homeotopía de una superficie, S, consiste en el grupo de las clases de isotopía de los auto-homeomorfismos de S donde se factorizan los auto-homeomorfismos isotópicos al mapeo identidad de S. Este concepto también es llamado el mapping class group de la superficie. Por lo que suele usarse el símbolo ${\mathcal {MCG}}(S)$ para denotar tal estructura.

Los ejemplos elementales son:

• el plano proyectivo, P tiene ${\mathcal {MCG}}(P)=1$, y esto es porque cada auoto-homeomorfismo del plano proyectivo es isotópico a la identidade de P
• ${\mathcal {MCG}}(S^{2})=\mathbb {Z} _{2}$, para la 2-esfera
• para el toro, T, tenemos ${\mathcal {MCG}}(T)=GL_{2}(\mathbb {Z} )$
• la botella de Klein, K tiene ${\mathcal {MCG}}(K)=\mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}$

Un hecho importante es que ha sido demostrado rigurosamente que para superficies orientables S sus grupos de homeotopía coincide con ${\rm {Out}}\pi _{1}(S)\,$, el grupo de automorfismo exteriores del grupo fundamental de S.

Tiene sentido también definir este concepto para cualquier espacio topológico arco-conexo.

No debe confundirse este concepto con el de grupos de homotopía de un espacio X, donde los elementos son las clases de homotopía de mapeos de la esfera $S^{n}$ a X.