Fundamentos de trigonometría

• Trigonometría: Según el DRAE , la trigonometría (del griego τριγωνομετρία) es "la parte de las matemáticas que trata del cálculo de los elementos de los triángulos planos y esféricos".

Medición de ángulos

a) Radián: unidad angular que va desde el centro de una circunferencia un arco de longitud igual al radio.

La unidad se escribe 1 rad.

Una vuelta entera a la circunferencia son 2π rad.

Los radianes son la única unidad de medición de ángulos del Sistema Internacional de Unidades, aunque en los estudios Preniversitarios y en la vida cotidiana se usan mayoritariamente los grados sexagesimales.

b) Grado sexagesimal: unidad angular que divide una circunferencia en 360 sectores radiales.

La unidad se escribe 1º.

Cada grado se divide en 60 minutos ( ' ) y cada minuto en 60 segundos ( " ), o lo que es lo mismo, 1º = 60' y 1' = 60".

c) Grado centesimal: unidad angular que divide una circunferencia en 400 sectores radiales.

La unidad se escribe 1^g.

Cada grado centesimal se divide en 100 minutos centesimales, y éste, a su vez, en 100 segundos centesimales.

Las relaciones entre las tres medidas son: 180º = 200 g = π rad

Se pueden establecer fácilmente las siguientes igualdades:

Para x grado sexagésimales tendremos y grado centesimal:

$\left.{\begin{array}{ccc}180^{\circ }&\longrightarrow &200^{g}\\x&\longrightarrow &y\end{array}}\right\}\rightarrow \quad y={\cfrac {200^{g}\cdot x}{180^{\circ }}}$

Para x grado centesimal tendremos y grado sexagésimales:

$\left.{\begin{array}{ccc}200^{g}&\longrightarrow &180^{\circ }\\x&\longrightarrow &y\end{array}}\right\}\rightarrow \quad y={\cfrac {180^{\circ }\cdot x}{200^{g}}}$

Para x grado centesimal tendremos y radián:

$\left.{\begin{array}{ccc}200^{g}&\longrightarrow &\pi \;rad\\x&\longrightarrow &y\end{array}}\right\}\rightarrow \quad y={\cfrac {\pi \;rad\cdot x}{200^{g}}}$

Para x radián tendremos y grado centesimal:

$\left.{\begin{array}{ccc}\pi \;rad&\longrightarrow &200^{g}\\x&\longrightarrow &y\end{array}}\right\}\rightarrow \quad y={\cfrac {200^{g}\cdot x}{\pi \;rad}}$

Para x grado sexagésimales tendremos y radián:

$\left.{\begin{array}{ccc}180^{\circ }&\longrightarrow &\pi \;rad\\x&\longrightarrow &y\end{array}}\right\}\rightarrow \quad y={\cfrac {\pi \;rad\cdot x}{180^{\circ }}}$

Para x radián tendremos y grado sexagésimales:

$\left.{\begin{array}{ccc}\pi \;rad&\longrightarrow &180^{\circ }\\x&\longrightarrow &y\end{array}}\right\}\rightarrow \quad y={\cfrac {180^{\circ }\cdot x}{\pi \;rad}}$

Partes del triángulo rectángulo

Para un triángulo de vértices: A, B y C rectángulo en C definimos:

• Hipotenusa: lado opuesto al ángulo de 90º. Es el lado más largo del triángulo rectángulo.
• Catetos: los lados del triángulo rectángulo que forman el ángulo de 90º. Són más cortos que la hipotenusa.

Con respecto a un ángulo α (distinto del de 90º), definimos:

• Cateto adyacente: lado que junto con la hipotenusa forma el ángulo α.
• Cateto opuesto: lado que junto con la hipotenusa forma el ángulo complementario de α.

Razones trigonométricas

Ahora podemos establecer unas cuantas relaciones entre los catetos y la hipotenusa llamadas razones trigonométricas.

Seno, coseno y tangente

• Seno de α: el seno de α se escribe "sen α" y se lee "seno de alfa" en los países de habla hispánica. Se denomina "sinus" (del latín) y se escribe "sin α" en el resto del mundo siguiendo las pautas del Sistema Internacional de Unidades.

El seno es el cociente del cateto opuesto al ángulo entre la hipotenusa:

$\sin \alpha ={\frac {a}{c}}$

• Coseno de α: el coseno de α se escribe "cos α" y se lee "coseno de alfa" en los países de habla hispánica. Se escribe de igual modo pero se denomina "cosinus" (también del latín) en el resto del mundo siguiendo las pautas del Sistema Internacional de Unidades.

El coseno es el cociente del cateto contiguo al ángulo entre la hipotenusa:

$\cos \alpha ={\frac {b}{c}}$

• Tangente de α: la tangente de α se escribe normalmente "tan α", pero se puede dar el caso donde sea denominada "tg α".

La tangente es el cociente del cateto opuesto entre el cateto contiguo. De la misma forma, deducimos que también es el cociente del seno entre el coseno de un ángulo.

$\tan \alpha ={\frac {a}{b}}$

$\tan \alpha ={\frac {\sin {\alpha }}{\cos \alpha }}$

Cosecante, secante y cotangente

• La cosecante de α es la razón trigonométrica recíproca al seno (con el cociente invertido):

$\operatorname {cosec} \alpha ={\frac {c}{a}}={\frac {1}{\operatorname {sen} \alpha }}$

• La secante de α es la razón trigonométrica recíproca al coseno (con el cociente invertido):

$\operatorname {sec} \alpha ={\frac {c}{b}}={\frac {1}{\operatorname {cos} \alpha }}$

• La cotangente de α es la razón trigonométrica recíproca a la tangente (con el cociente invertido):

$\operatorname {cotan} \alpha ={\frac {b}{a}}={\frac {1}{\operatorname {tan} \alpha }}$

Inversas

Las funciones inversas del seno, el coseno y la tangente nos permiten conocer el ángulo α a partir del cociente de los catetos y la hipotenusa:

• El arcoseno (o arcsinus) es la función trigonométrica inversa del seno:

$\arcsin {\frac {a}{c}}=\alpha$

• El arcocoseno (o arccosinus) es la función trigonométrica inversa del cosinus:

$\operatorname {arccos} {\frac {b}{c}}=\alpha$

• El arcotangente es la función trigonométrica inversa de la tangente:

$\arctan {\frac {a}{b}}=\alpha$

Ecuaciones trigonométricas

A partir de las ya mencionadas razones trigonométricas, se deducen una serie de ecuaciones trigonométricas útiles para resolver problemas en que intervienen factores como el ángulo mitad, el ángulo doble, los signos de los cuadrantes, etc. A continuación, las fórmulas más comunes y su desarrollo:

Teoremas

• Teorema de pitágoras que aplicado a la trigonometría toma el nombre de ecuación trigonométrica fundamental:

$\sin ^{2}\alpha \ +\cos ^{2}\alpha =1$

• Teorema del seno:

${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}$

• Teorema del coseno:

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\ \cos \alpha$

$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\ \cos \beta$

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\ \cos \gamma$

Potencias

$\sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\cos 2\alpha }{2}}$

$\cos ^{2}\alpha ={\frac {1+\cos 2\alpha }{2}}$

Suma y diferencia de ángulos

.

$\sin(\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$

$\cos(\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$

$\tan(\alpha \pm \beta )={\frac {\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }}$

Ángulo doble

.

$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \ \cos \alpha$

$\cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha \ -\sin ^{2}\alpha$

$\tan 2\alpha ={\frac {2\tan \alpha }{1-\tan ^{2}\alpha }}$

Ángulo mitad

$\sin {\frac {\alpha }{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{2}}}$

• Con signo + si ${\begin{matrix}{\frac {\alpha }{2}}\end{matrix}}$ está en el I o en el II cuadrantes.

• Con signo – si ${\begin{matrix}{\frac {\alpha }{2}}\end{matrix}}$ está en el III o en el IV cuadrantes.

$\cos {\frac {\alpha }{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1+\cos \alpha }{2}}}$

• Con signo + si ${\begin{matrix}{\frac {\alpha }{2}}\end{matrix}}$ está en el I o en el IV cuadrantes.

• Con signo – si ${\begin{matrix}{\frac {\alpha }{2}}\end{matrix}}$ está en el II o en el III cuadrantes.

$\tan {\frac {\alpha }{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }}}$

• Con signo + si ${\begin{matrix}{\frac {\alpha }{2}}\end{matrix}}$ está en el I o en el III cuadrantes.

• Con signo – si ${\begin{matrix}{\frac {\alpha }{2}}\end{matrix}}$ está en el II o en el IV cuadrantes.

Transformaciones de sumas y diferencias de razones trigonométricas en productos

$\sin \alpha +\sin \beta =2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}$

$\sin \alpha -\sin \beta =2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}$

$\cos \alpha +\cos \beta =2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}$

$\cos \alpha -\cos \beta =-2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}+2$

Transformaciones de productos de razones trigonométricas en sumas y diferencias

$\sin \alpha \ \sin \beta ={\frac {1}{2}}{\bigg [}\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta ){\bigg ]}$

$\cos \alpha \ \cos \beta ={\frac {1}{2}}{\bigg [}\cos(\alpha -\beta )+\cos(\alpha +\beta ){\bigg ]}$

$\sin \alpha \ \cos \beta ={\frac {1}{2}}{\bigg [}\sin(\alpha -\beta )+\sin(\alpha +\beta ){\bigg ]}$

$\cos \alpha \ \sin \beta ={\frac {1}{2}}{\bigg [}\sin(\alpha +\beta )-\sin(\alpha -\beta ){\bigg ]}$

Referencia