Función cuadrática

De vital importancia en matemáticas y física es la función cuadrática o de segundo grado.

Una función polinómica de grado dos o función cuadrática es la que corresponde a un polinomio en x de segundo grado, según la forma:

Gráficas de funciones cuadráticas.

$f(x)=ax^{2}+bx+c\,$

donde a, b y c son constantes y a es distinto de 0.

La representación gráfica en el plano XY haciendo:

$y=f(x)\,$

esto es:

$y=ax^{2}+bx+c\,$

es una parábola vertical, orientada hacia arriba o hacia abajo según el signo de a.

Estudio de la función

Corte con el eje y

La función corta el eje y en el punto y = f(0), es decir, la parábola corta el eje y cuando x vale cero (0):

$y=f(0)=a\cdot 0^{2}+b\cdot 0+c\,$

lo que resulta:

$y=f(0)=c\,$

la función corta el eje y en el punto (0, c), siendo c el término independiente de la función.

Corte con el eje x

La función corta al eje x cuando y vale 0:

$ax^{2}+bx+c=0\,$

las distintas soluciones de esta ecuación de segundo grado, son los casos de corte con el eje x, que se obtienen como es sabido por la expresión:

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

donde:

$b^{2}-4ac\,$

se le llama discriminante, Δ:

$\Delta =b^{2}-4ac\,$

según el signo del discriminante podemos distinguir:

• Δ > 0, la ecuación tiene dos soluciones, por tanto la parábola cortara al eje x en dos puntos: $x_{1}$ y $x_{2}$.

• Δ = 0, la ecuación tiene una única solución en $x_{1}$, la parábola solo tiene un punto en común con el eje x, el cual es el vértice de la función donde las dos ramas de la parábola confluyen.

• Δ < 0, la ecuación no tiene solución real, y la parábola no corta al eje x.

Forma factorizada

Todo función cuadrática se puede factorizar en función de sus raíces. Dada:

$f(x)=ax^{2}+bx+c\,$

se puede factorizar como:

$f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})\,$

siendo a el coeficiente principal de la función, por ello se extrae siempre como factor común, de no escribirse, el coeficiente de $x^{2}$ sería siempre 1. $x_{1}$ y $x_{2}$ representan las raíces de $f(x)$. En el caso de que el Discriminante Δ sea igual a 0 entonces $x_{1}=x_{2}$ por lo que podríamos escribir:

$f(x)=a(x-x_{1})^{2}\,$

En este caso a $x_{1}$ se la denomina raíz doble, ya que su orden de multiplicidad es 2.

Forma canónica

Toda función cuadrática puede ser expresada mediante el cuadrado de un binomio de la siguiente manera:

$f(x)=a(x-h)^{2}+k\,$

A esta forma de expresión se la llama forma canónica. Siendo a el coeficiente principal y el par ordenado (h;k) las coordenadas del vértice de la parábola. Para llegar a esta expresión se parte de la forma polinómica y se realiza el siguiente procedimiento:

• Dado:

$f(x)=ax^{2}+bx+c\,$

• Se extrae a como factor común en el término cuadrático y en el lineal.

$f(x)=a\left(x^{2}+{\frac {b}{a}}x\right)+c\,$

• Se completa el trinomio cuadrado perfecto, sumando y restando para no alterar la igualdad.

$f(x)=a\left(x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}\right)+c-{\frac {b^{2}}{4a}}$

• Se factoriza formando el cuadrado de un binomio.

$f(x)=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+c-{\frac {b^{2}}{4a}}$

• sustituyendo:

$h={\frac {-b}{2a}},\ k=c-{\frac {b^{2}}{4a}}$

• la expresión queda:

$f(x)=a(x-h)^{2}+k\,$

Extremos relativos

Para localizar los extremos relativos, se calcula la derivada de la función, y se iguala a cero, la solución a esta ecuación son los posibles máximos y mínimos de la función, en este caso, partiendo de la función cuadrática:

$y=ax^{2}+bx+c\,$

calculamos su derivada respecto a x:

${\frac {dy}{dx}}=2ax+b$

que si la igualamos a cero, tenemos:

$2ax+b=0\,$

donde x valdrá:

$x={\frac {-b}{2a}}$

En la vertical que pasa por este valor de x se encontrar el valor máximo, mínimo o relativo de la función.

Determinar la ecuación conocidos tres puntos

Partiendo de la forma de la ecuación:

$y=ax^{2}+bx+c\,$

y conocidos tres puntos del plano xy por los que pasa una función polinómica de segundo grado:

$(x_{1},y_{1}),\;(x_{2},y_{2}),\;(x_{3},y_{3})$

se cumplira que:

$\left\{{\begin{matrix}y_{1}=ax_{1}^{2}+bx_{1}+c\\y_{2}=ax_{2}^{2}+bx_{2}+c\\y_{3}=ax_{3}^{2}+bx_{3}+c\end{matrix}}\right.$

con lo que tenemos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, donde las incógnitas son: a, b y c, este sistema tendrá solución si el determinante de los coeficientes de las incógnitas es distinto de cero.

Representando el sistema ordenado de forma convencional:

$\left\{{\begin{matrix}ax_{1}^{2}+bx_{1}+c=y_{1}\\ax_{2}^{2}+bx_{2}+c=y_{2}\\ax_{3}^{2}+bx_{3}+c=y_{3}\end{matrix}}\right.$

Con lo que podemos calcular los valores de los coeficientes:

$a={\cfrac {\left|{\begin{matrix}y_{1}&x_{1}&1\\y_{2}&x_{2}&1\\y_{3}&x_{3}&1\end{matrix}}\right|}{\left|{\begin{matrix}x_{1}^{2}&x_{1}&1\\x_{2}^{2}&x_{2}&1\\x_{3}^{2}&x_{3}&1\end{matrix}}\right|}}$

$,\quad b={\cfrac {\left|{\begin{matrix}x_{1}^{2}&y_{1}&1\\x_{2}^{2}&y_{2}&1\\x_{3}^{2}&y_{3}&1\end{matrix}}\right|}{\left|{\begin{matrix}x_{1}^{2}&x_{1}&1\\x_{2}^{2}&x_{2}&1\\x_{3}^{2}&x_{3}&1\end{matrix}}\right|}}$

$,\quad c={\cfrac {\left|{\begin{matrix}x_{1}^{2}&x_{1}&y_{1}\\x_{2}^{2}&x_{2}&y_{2}\\x_{3}^{2}&x_{3}&y_{3}\end{matrix}}\right|}{\left|{\begin{matrix}x_{1}^{2}&x_{1}&1\\x_{2}^{2}&x_{2}&1\\x_{3}^{2}&x_{3}&1\end{matrix}}\right|}}$