Estudios:Estadística y Probabilidad

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Problemas de Probabilidad.

1. Sean A y B dos sucesos independientes. Demostrar que A y B son también independientes. Demostrar que $A^{C}$ y $B^{C}$ son también independientes.

2. Sean A y B dos sucesos tales que P(A) = 0,4; P(B) = 0,5; P(A/B) = 0,1. Hallar la Probabilidad de A[B.

Solución

Se trata de un problema de probabilidad condicionada: P(A[B) = P(A) si ha sucedido B

Aplico la fórmula de la probabilidad condicionada para lo que debo conocer P(AyB), que se representa por P(A/B); y debo conocer también P(B):

P(A[B) = P(A/B): P(B) = 0,1 : 0,5 = 0,2

3. Se extraen al azar cartas de una baraja española de 40 cartas con reemplazamiento. Hallar la probabilidad de que:

- a) La primera carta sea de oros.
- b) La segunda carta sea de oros si la primera fue de oros.
- c) La segunda carta sea de oros si la primera no fue de oros.
- d) La segunda carta sea de oros.
- e) Las dos primeras cartas sean de oros.
- f) Ninguna de las dos primeras cartas sean de oros.
- g) Al menos una de las dos primeras cartas sea de oros.
- h) La tercera carta sea de oros sabiendo que las dos primeras cartas fueron de oros.
- i) La tercera carta sea de oros.
- j) Las tres primeras cartas sean de oros.
- k) Ninguna de las tres primeras cartas sean de oros.
- l) Al menos una de las tres primeras cartas sea de oros

Soluciones:

- 3.a) La baraja consta de 40 cartas, de ellas 10 son oros.
  - Como P = sucesos posibles/sucesos totales
  - P = 10/40 = 1/4 = 0,25
- 3.b,c,d) Como existe reemplazamiento, la situación es la misma que la anterior.
  - P = 10/40 = 1/4 = 0,25
- 3.e)
  - P = 10/40 * 10/40 = 100/1600 = 1/16
- 3.f)
  - P = 30/40 * 30/40 = 900/1600 = 9/16

4. Repetir el problema anterior considerando extracciones sin reemplazamiento.

Soluciones:

- 4.a) La baraja consta de 40 cartas, de ellas 10 son oros.
  - Como P = sucesos posibles/sucesos totales
  - P = 10/40 = 1/4 = 0,25
- 4.b)Como no hay reeemplazamiento, habrá 9 cartas de oros y 39 cartas en total:
  - P = 9/39 = 0,231
- 4.c)Si la primera no fue de oros, habrá 10 cartas de oros y 39 cartas en total:
  - P = 10/39 = 0,256

5. Se extraen dos cartas de una baraja. Hallar la probabilidad de que la segunda sea de oros sabiendo que la primera ha sido un Rey. Realizar el problema considerando extracciones con y sin reemplazamiento.

6. En una empresa, el 60% de los empleados coge las vacaciones en agosto, el 30% en julio y el resto en otros meses. De los que cogen las vacaciones en agosto, el 90% va a la playa, de los que cogen las vacaciones en julio, el 70% va a la playa, mientras que de los que cogen las vacaciones en otros meses, solo el 20% va a la playa. Se pide:

- a) Hallar la probabilidad de que un individuo vaya a la playa.
- b) Hallar la probabilidad de que un individuo coja las vacaciones en julio y vaya a la playa.
- c) Hallar la probabilidad de que un individuo que coja las vacaciones en julio vaya a la playa.
- d) Hallar la probabilidad de que un individuo que fue a la playa cogiera las vacaciones en julio.

7. Una enfermedad afecta a uno de cada 10000 individuos. Un laboratorio afirma que tiene una prueba para detectar la enfermedad que acierta en el 95% de los casos. Preguntados por lo que querían decir con esa afirmación indicaron que al pasar la prueba a pacientes enfermos, en el 95% de los casos dio positiva y al pasarla a pacientes sanos, en el 95% de los casos dio negativa. Un individuo se realiza la prueba y da positivo. Hallar la probabilidad de que esté realmente enfermo.

Solución

Debo hallar la probabilidad condicionada de que un sujeto esté enfermo si ha dado positivo:

Llamando E al sujeto enfermo y E' al sujeto sano; llamando L a la prueba positiva y L' a la prueba negativa, debo hallar P(E[L)= P(E/L):P(L)

Hay que considerar que:

La probabilidad de estar enfermo P(E)= 0,0001 y la de no estarlo es P(E')= 0,9999

La probabilidad de que la prueba sea positiva si está enfermo es P(L[E)= 0,95

La probabilidad de que la prueba sea positiva si se está sano es P(L[E')= 0,05

Entonces la probabilidad de que un individuo dé positivo (L) es:

P(L)= P(E)*P(L[E) + P(E')*P(L[E´)= 0,0001*0,95 + 0,9999*0,05 = 0,05009

También sé que P(L[E)= P(E/L):P(E) y por lo tanto P(E/L)= P(E)*P(L[E)= 0,0001*0,95= 0,000095

Por lo tanto P(E[L)= P(E/L):P(L)= 0,000095:0,05009= 0,001896 (aprox. 2 por mil)

8. Se tienen tres cofres conteniendo monedas. En el primer cofre hay dos monedas de oro, en el segundo hay una moneda de oro y otra de plata y en el tercero hay dos monedas de plata. Se elige un cofre al azar y se extrae una moneda que resulta ser de oro. Hallar la probabilidad de que la segunda moneda extraída de ese cofre sea de plata.

9. En un concurso de televisión el concursante ha llegado a la prueba final, y tiene que elegir entre tres cajas. En una de ellas hay un coche y en las otras dos hay una zanahoria. El concursante elige una caja. A continuación el presentador abre una de las otras dos, y en su interior hay una zanahoria. Tras la publicidad, el presentador da a elegir al concursante entre quedarse con su caja o cambiar a la otra. ¿Qué debe hacer el concursante? El problema debe realizarse en los dos supuestos siguientes:

- a) El presentador no sabe dónde está el coche.
- b) El presentador si sabe dónde está el coche, y no va a abrir la caja que lo contenga hasta el final del programa.

10. Se tienen tres bolsas con bolas de colores. La primera tiene dos bolas blancas y una roja, la segunda dos blancas y dos rojas y la tercera dos blancas y tres rojas. Se elige una bolsa al azar y se extrae una bola:

- a) Hallar la probabilidad de que sea blanca.
- b) Si la bola extraída ha sido blanca, hallar la probabilidad de que se haya elegido la primera bolsa.
- c) Si la bola extraída ha sido blanca, hallar la probabilidad de que la segunda bola sacada de esa bolsa sea también blanca.

11. Se realiza el experimento aleatorio de lanzar un dado cúbico con las caras numeradas del 1 al 6. Hallar la media y la varianza de dicha variable aleatoria.

Solución:

media= 1+2+3+4+5+6/6= 21/6= 3,5

varianza= (1-3,5)² + (2-3,5)² + (3-3,5)² + (4-3,5)² + (5-3,5)² + (6-3,5)²/6= 2,916

12. Hallar la probabilidad de que haya que lanzar un dado 10 veces antes de que aparezca el primer 5.

13. Se eligen dos números al azar en el intervalo (0, 1). Hallar la probabilidad de que la suma sea menor que un 1/2. Hallar la probabilidad de que la suma sea igual a 1/2.

14. Se eligen dos números al azar en el intervalo (0, 1). Hallar la probabilidad de que el producto sea menor que un 1/2. Hallar la probabilidad de que el producto sea igual a 1/2.

15. Dos amigos se citan en un lugar entre las 8 y las 9 con la siguiente condición: cada uno de ellos llegará y si no está el otro lo esperará 15 minutos. Hallar la probabilidad de que se encuentren.

16. Se eligen dos números al azar r y s, en el intervalo (0, 1). Hallar la probabilidad de que la ecuación x2 + rx + s tenga las dos raíces reales. Hallar la probabilidad de que las dos raíces coincidan.

17. Se eligen un número al azar en el intervalo (0, 1) y se le suma el resultado de lanzar un dado. Se pide:

- a) Hallar la probabilidad de que dicha suma sea menor que 3,4.
- b) Si la suma es menor que 3,4, hallar la probabilidad de que en el dado se hubiera obtenido un 3.

18. Se lanza una moneda 6 veces. Hallar la probabilidad de obtener 3 caras.

19. Se extraen 8 cartas de una baraja española. Hallar la probabilidad de que no haya ninguna carta de copas. Hallar la probabilidad de que haya dos cartas de copas.

20. En una reunión hay 25 personas. Hallar la probabilidad de que no coincida el cumpleaños de ninguna de ellas. Repetir el problema para n personas. Determinar el valor de n a partir del cual la probabilidad de que haya coincidencia sea mayor de 1/2.

21. Se elige un número al azar en el intervalo (0, 1). Hallar la probabilidad de su cuadrado sea menor que 1/4.

Investigación

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