Principales conjuntos numéricos/Números complejos

$j={\sqrt {-1}}$

Modulo de un número complejo: z

Llamemos z a un número complejo formado por una parte real y una imaginaria

El conjugado de un número se define como aquel que tiene la misma parte real que z, pero siendo la parte imaginaria de signo contrario: $\underbrace {z^{*}={\overline {z}}} _{\begin{smallmatrix}{\text{Dos nomenclaturas}}\\{\text{para denominar al }}\\{\text{conjugado}}\end{smallmatrix}}=x-j\cdot y$

A esta forma se la denomina forma binómica.

el modulo de una señal se define como la multiplicación de ese número por su conjugado

$\left|z\right|=z\cdot z^{*}={\sqrt {(x+jy)\cdot (x-jy}})={\sqrt {x^{2}-jxy+jxy-j^{2}y^{2}}}{\xrightarrow[{j^{2}=-1}]{}}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$

A veces, y por simple comodidad se prefiere trabajar con la forma trigonometrica en vez de con la forma binómica:

${\begin{aligned}&z=\underbrace {x+j\cdot y} _{\text{forma binomica}}=\underbrace {\rho \left(\cos \theta +j\cdot \sin \theta \right)} _{\text{forma trigonometrica}}=\underbrace {\rho \cdot e^{j\theta }} _{\text{forma exponencial}}\\&\left\{{\begin{aligned}&x=\rho \cdot \cos \theta \\&y=\rho \cdot \sin \theta \\\end{aligned}}\right.\\&\rho =\left|z\right|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{\xrightarrow[{\text{debido a}}]{}}{\sqrt {\left(\rho \cos \theta \right)^{2}+\left(\rho \sin \theta \right)^{2}}}={\sqrt {\rho ^{2}\underbrace {\left(\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta \right)} _{\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1}}}=\rho \\&\tan \theta ={\frac {y}{x}}\\&Ej.\\&z=-1+j\to \rho ={\sqrt {(-1)^{2}+1^{2}}}={\sqrt {2}}\\&\tan \theta ={\frac {1}{-1}}=-1\to \theta =\arctan(-1)={}^{3\pi }\!\!\diagup \!\!{}_{4}\;,{}^{11\pi }\!\!\diagup \!\!{}_{4}\;...\\&{\text{El argumento de z se denomina }}\arg(z)=\theta +2n\pi ;n\in \mathbb {N} \\&\arg(z)\in [-\pi ,\pi ]\\\end{aligned}}$

No se ha demostrado la igualdad correspondiente a:

$e^{j\theta }=\cos \theta +j\cdot \sin \theta$ Llamada fórmula de Euler, y será demostrada mas adelante, junto con la serie de Taylor. De la misma manera, y usando las PROPIEDADES DE LOS SENOIDES, tenemos:

$e^{-j\theta }=\underbrace {\cos(-\theta )} _{{\text{func}}{\text{. par}}}+j\cdot \underbrace {\sin(-\theta )} _{{\text{func}}{\text{. impar}}}=\cos \theta -j\sin \theta$

Periodicidad de la exponencial compleja

Por la relación de la exponencial compleja y las senoides vista anteriormente, podemos deducir que:

${\begin{aligned}&z=x+j\cdot y\\&e^{z+j2\pi }=e^{z}\cdot e^{j2\pi }{\xrightarrow[{\text{Euler}}]{}}e^{z}\left(\underbrace {\cos(2\pi )} _{1}+j\underbrace {\sin(2\pi )} _{0}\right)=e^{z}\\&e^{j2\pi }=1\\&{\text{Periodica }}T=2\pi j{\text{ }}f(z+T)=f(z),z\in \mathbb {C} \\\end{aligned}}$

La raíz de un número complejo

${\begin{aligned}&{\sqrt[{n}]{z}}=w\leftrightarrow w^{n}=z\\&Ej:{\sqrt[{4}]{1+j}}=w\leftrightarrow w^{4}=1+j=\underbrace {\sqrt {2}} _{\text{Abs()}}e^{j\underbrace {{}^{\pi }\!\!\diagup \!\!{}_{4}\;} _{\text{Arg()}}}\\&{\text{Poniendo w en forma polar }}w=\rho \cdot e^{j\theta }\to w^{4}=\rho ^{4}\cdot (e^{j\theta })^{4}=\rho ^{4}\cdot e^{j4\theta }\\&\rho ^{4}={\sqrt {2}}\to \rho ={\sqrt[{4}]{\sqrt {2}}}={\sqrt[{8}]{2}}\\&4\theta ={}^{\pi }\!\!\diagup \!\!{}_{4}\;+2k\pi ,k\in \mathbb {Z} \to \theta ={\frac {{}^{\pi }\!\!\diagup \!\!{}_{4}\;+2k\pi }{4}}={}^{\pi }\!\!\diagup \!\!{}_{16}\;+{}^{k\pi }\!\!\diagup \!\!{}_{2}\;\\&k=0\to \theta ={}^{\pi }\!\!\diagup \!\!{}_{16}\;\\&k=1\to \theta ={}^{\pi }\!\!\diagup \!\!{}_{16}\;+{}^{\pi }\!\!\diagup \!\!{}_{2}\;\\&k=2\to \theta ={}^{\pi }\!\!\diagup \!\!{}_{16}\;+\pi \\&k=3\to \theta ={}^{\pi }\!\!\diagup \!\!{}_{16}\;+{}^{3\pi }\!\!\diagup \!\!{}_{4}\;\\&k=4\to \theta ={}^{\pi }\!\!\diagup \!\!{}_{16}\;+2\pi {\text{ se repite}}\\&{\sqrt[{n}]{\rho \cdot e^{j\theta }}}={\sqrt[{n}]{\rho }}\cdot e^{j\left({\frac {\theta +2k\pi }{n}}\right)};k=0,1,2...(n-1)\\\end{aligned}}$