Diferencia entre revisiones de «Cálculo y análisis matemático/Ejercicios resueltos de Cálculo»
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Se presentan a continuación, ejercicios de cálculo organizados por tema, evaluando diferentes conceptos y con sus soluciones correspondientes.
== Números Complejos ==
=== Ejercicio 1 ===
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<math>z_0 = 1\ang\frac{\pi}{6}</math>, <math>z_1 = 1\ang\frac{5\pi}{6}</math> y <math>z_2 = 1\ang\frac{9\pi}{6}</math><br />
}}
== Función Inversa ==
=== Ejercicio 1 ===
Sea <math>\displaystyle F(x) = \int_{\pi}^{x} \frac{e^t}{3+sen(t)} dt</math>, cual es el valor de <math>(F^{-1})'(0)</math>?
{{Cajón|Solución|Se cumple que <math>\displaystyle (F^{-1})'(0) = \frac{1}{F'(F^{-1}(0))}</math><br />
Y <math>F^{-1}(0) = A \Leftrightarrow F(A) = 0</math>, y esto sucede cuando <math>x = \pi \text{ en } F(x)</math> ya que:<br />
<math>\displaystyle F(\pi) = \int_{\pi}^{\pi} \frac{e^t}{3+sen(t)} dt = 0</math>, puesto que una integral evaluada entre <math>\pi \text{ y } \pi</math> vale 0.<br /><br />
Entonces <math>F^{-1}(0) = A = \pi</math> y ahora solo resta evalular <math>F'(F^{-1}(0)) = F'(\pi)</math>.<br />
<math>F'(x)</math> por ser <math>\frac{e^t}{3+sen(t)}</math> continua (composición de funciones continuas) <math>\forall x \in \mathbb{R}</math>, entonces puedo aplicar el [[Teorema Fundamental del Cálculo]] que dice que <math>\displaystyle F'(x) = \frac{e^x}{3+sen(x)}</math>.<br />
<math>\displaystyle F'(\pi) = \frac{e^\pi}{3+sen(\pi)} = \frac{e^\pi}{3} \text{ y finalmente } (F^{-1})'(0) = \displaystyle \frac{1}{ \frac{e^\pi}{3}} = \frac{3}{e^\pi} = 3 e^{-\pi}</math>
}}
== Series ==
=== Ejercicio 1 ===
<math>a_n = \displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{cos(x) - sen(x)}{(sen(x) + cos(x))^{n+1}} dx \text{ y } b_n = \frac{1}{n} - a_n \text{ , con } n \in \mathbb{R}</math><br />
Sean las series: <math>(I)\ \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}a_n</math> y <math>(II)\ \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}b_n</math><br />
Estudiar convergencia de la series.
{{Cajón|Solución|Aplico un cambio de variable a la integral:<br />
<math>u = sen(x) + cos(x) \text{ y } du = cos(x) - sen(x)</math><br /><br />
Cambiando tambien los extremos:<br />
<math>sen(0) + cos(0) = 1 \text{ y } sen\left(\frac{\pi}{4}\right) + cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} </math><br /><br />
<math>\displaystyle \int_1^{\sqrt{2}}\frac{1}{u^{n+1}} du = \frac{-1}{n u^n} \bigg|_{1}^{\sqrt{2}} = \frac{-1}{n \sqrt{2}^n} + \frac{1}{n 1^n} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n \sqrt{2}^n}</math><br /><br />
Entonces:<br />
<math>a_n = \frac{1}{n} - \frac{1}{n \sqrt{2}^n}</math><br />
<math>b_n = \frac{1}{n \sqrt{2}^n}</math><br />
Aplicamos el [[Criterio del cociente para series]] sobre <math>b_n</math>:<br /><br />
<math>\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\frac{1}{(n+1) \sqrt{2}^{n+1}}}{\frac{1}{n \sqrt{2}^n}} = \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n \sqrt{2}^n}{(n+1) \sqrt{2}^{n+1}} = \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{n}{(n+1)\sqrt{2}} = \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{n}{\sqrt{2}n + \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} < 1</math><br />
<math>\Rightarrow b_n</math> converge.<br /><br />
Se sabe que <math>\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n}</math> diverge, entonces si: <math>\displaystyle a_n = \underbrace{\frac{1}{n}}_\text{Diverge} - \underbrace{\frac{1}{n \sqrt{2}^n}}_\text{Converge}</math><br />
Y la suma de algo que diverge menos algo que converge, evidentemente sigue divergiendo.<br / >
<math>\Rightarrow a_n</math> diverge.
}}
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