Diferencia entre revisiones de «Cálculo y análisis matemático/Ejercicios resueltos de Cálculo»
Contenido eliminado Contenido añadido
ejercicio 1 de series |
agregado ejercicio de funcion inversa |
||
Línea 3:
== Números Complejos ==
=== Ejercicio 1 ===
Sean <math>a \in \mathbb{R}; z, z_0\in \mathbb{C}. \text{ Con } z = x + iy</math>.<br />
¿Qué representa la ecuación <math>z\bar{z} + z_0 \bar{z} + \bar{z_0} z + a = 0</math> en el plano <math>xy</math>?
Línea 37 ⟶ 36:
{{Ecuación|<math>{|z_0|}^2 - a > 0 \Leftrightarrow {|z_0|}^2 > a</math>.||center}}
}}
== Función Inversa ==
=== Ejercicio 1 ===
Sea <math>\displaystyle F(x) = \int_{\pi}^{x} \frac{e^t}{3+sen(t)} dt</math>, cual es el valor de <math>(F^{-1})'(0)</math>?
{{Cajón|Solución|Se cumple que <math>\displaystyle (F^{-1})'(0) = \frac{1}{F'(F^{-1}(0))}</math><br />
Y <math>F^{-1}(0) = A \Leftrightarrow F(A) = 0</math>, y esto sucede cuando <math>x = \pi \text{ en } F(x)</math> ya que:<br />
<math>\displaystyle F(\pi) = \int_{\pi}^{\pi} \frac{e^t}{3+sen(t)} dt = 0</math>, puesto que una integral evaluada entre <math>\pi \text{ y } \pi</math> vale 0.<br /><br />
Entonces <math>F^{-1}(0) = A = \pi</math> y ahora solo resta evalular <math>F'(F^{-1}(0)) = F'(\pi)</math>.<br />
<math>F'(x)</math> por ser <math>\frac{e^t}{3+sen(t)}</math> continua (composición de funciones continuas) <math>\forall x \in \mathbb{R}</math>, entonces puedo aplicar el [[Teorema Fundamental del Cálculo]] que dice que <math>\displaystyle F'(x) = \frac{e^x}{3+sen(x)}</math>.<br />
<math>\displaystyle F'(\pi) = \frac{e^\pi}{3+sen(\pi)} = \frac{e^\pi}{3} \text{ y finalmente } (F^{-1})'(0) = \displaystyle \frac{1}{ \frac{e^\pi}{3}} = \frac{3}{e^\pi} = 3 e^{-\pi}</math>
}}
== Series ==
=== Ejercicio 1 ===
<math>a_n = \displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{cos(x) - sen(x)}{(sen(x) + cos(x))^{n+1}} dx \text{ y } b_n = \frac{1}{n} - a_n \text{ , con } n \in \mathbb{R}</math><br />
Sean las series: <math>(I)\ \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}a_n</math> y <math>(II)\ \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}b_n</math><br />
| |||