Diferencia entre revisiones de «Cálculo y análisis matemático/Ejercicios resueltos de Cálculo»
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ejercicio 1 de series |
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Línea 36:
Entonces la respuesta es, que es una circunferencia si se cumple la condición:<br />
{{Ecuación|<math>{|z_0|}^2 - a > 0 \Leftrightarrow {|z_0|}^2 > a</math>.||center}}
}}
== Series ==
=== Ejercicio 1 ===
==== Letra ====
<math>a_n = \displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{cos(x) - sen(x)}{(sen(x) + cos(x))^{n+1}} dx \text{ y } b_n = \frac{1}{n} - a_n \text{ , con } n \in \mathbb{R}</math><br />
Sean las series: <math>(I)\ \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}a_n</math> y <math>(II)\ \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}b_n</math><br />
Estudiar convergencia de la series.
{{Cajón|Solución|Aplico un cambio de variable a la integral:<br />
<math>u = sen(x) + cos(x) \text{ y } du = cos(x) - sen(x)</math><br /><br />
Cambiando tambien los extremos:<br />
<math>sen(0) + cos(0) = 1 \text{ y } sen\left(\frac{\pi}{4}\right) + cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} </math><br /><br />
<math>\displaystyle \int_1^{\sqrt{2}}\frac{1}{u^{n+1}} dx = \frac{-1}{n u^n} \bigg|_{1}^{\sqrt{2}} = \frac{-1}{n \sqrt{2}^n} + \frac{1}{n 1^n} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n \sqrt{2}^n}</math><br /><br />
Entonces:<br />
<math>a_n = \frac{1}{n} - \frac{1}{n \sqrt{2}^n}</math><br />
<math>b_n = \frac{1}{n \sqrt{2}^n}</math><br />
Aplicamos el [[Criterio del cociente para series]] sobre <math>b_n</math>:<br /><br />
<math>\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\frac{1}{(n+1) \sqrt{2}^{n+1}}}{\frac{1}{n \sqrt{2}^n}} = \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n \sqrt{2}^n}{(n+1) \sqrt{2}^{n+1}} = \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{n}{(n+1)\sqrt{2}} = \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{n}{\sqrt{2}n + \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} < 1</math><br />
<math>\Rightarrow b_n</math> converge.<br /><br />
Se sabe que <math>\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n}</math> diverge, entonces si: <math>\displaystyle a_n = \underbrace{\frac{1}{n}}_\text{Diverge} - \underbrace{\frac{1}{n \sqrt{2}^n}}_\text{Converge}</math><br />
Y la suma de algo que diverge menos algo que converge, evidentemente sigue divergiendo.<br / >
<math>\Rightarrow a_n</math> diverge.
}}
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