Diferencia entre revisiones de «Cálculo y análisis matemático/Ejercicios resueltos de Cálculo»

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Línea 4:
=== Ejercicio 1 ===
==== Letra ====
Sean <math>a \in \mathbb{R}; z, z_0\in \mathbb{C}. \text{ Con } z = ax + biiy</math>.<br />
¿Qué representa la ecuación <math>z\bar{z} + z_0 \bar{z} + \bar{z_0} z + a = 0</math> en el plano <math>xy</math>?
 
{{Cajón|Solución|
ConsideroConsideramos <math>z_0 = b + ic</math>, luegoy uso la siguiente propiedad de números complejos: <math>z\bar{z} = {|z|}^2 = x^2 + y^2</math>
<br />
{{Ecuación | <math>\begin{array}{ccccccccc}
z\bar{z} & + & z_0 \bar{z} & + & \bar{z_0} z & + & a & = & 0 \\
Línea 19:
<math>\Rightarrow x^2 + y^2 + 2bx + 2cy + a = 0</math>
<br/ ><br/ >
A partir de acá tengo dos maneras de proceder, dependiendo cuales de las [[Fórmulas de la Circunferencia]] uso.<br />
Haciendo uso de la [[Ecuación de la Circunferencia]] deducimos que, en el caso de ser una circunferencia:<br />
Una de ellas dice que:<br />
{{Ecuación|<math>x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0\ (A,B,C \in \mathbb{R}) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} A = 2b\\ B = 2c \\ C = a \end{array} \right.</math>||center}}
<br />
Línea 25 ⟶ 26:
{{Ecuación|<math> \sqrt{\frac{A^2}{4} + \frac{B^2}{4} - C} = \sqrt{\frac{{(2b)}^2}{4} + \frac{{(2c)}^2}{4} - a} = \sqrt{\frac{4b^2}{4} + \frac{4c^2}{4} - a} = \sqrt{b^2 + c^2 - a} = \sqrt{{|z_0|}^2 - a}</math>||center}}
<br />
En el caso de cumplirse, además obtenemos el centro de la circunferencia dado por la fórumulafórmula:<br />
{{Ecuación|<math>\left( \frac{-A}{2}, \frac{-B}{2}\right) = (-b,-c)</math>||center}}
<br /><br />
Otra de las [[Fórmulas de la Circunferencia]] dice:<br />
<math>(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2</math> donde <math>(a,b)</math> es el centro y <math>r</math> el radio.
<br /><br />
Para llegar a esta formula tenemos que obtener el "cuadrado completo" de la ecuación:<br />
<math>x^2 + y^2 + 2bx + 2cy + a = 0 \Leftrightarrow (x + b)^2 + (y + c)^2 = b^2 + c^2 - a </math>.<br /><br />
Entonces la respuesta es, que es una circunferencia si se cumple la condición:<br />
{{Ecuación|<math>{|z_0|}^2 - a > 0 \Leftrightarrow {|z_0|}^2 > a</math>.||center}}