Diferencia entre revisiones de «Función cuadrática»
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De vital importancia en matemáticas y física es la función cuadrática o de segundo grado.
casos de corte con el '''eje x''', que se obtienen como es sabido por la expresión:▼
Una '''función polinómica de grado dos''' o función cuadrática es la que corresponde a un [[polinomio]] en '''x''' de segundo grado, según la forma:
[[Archivo:Parábolas verticales.svg|thumb|Gráficas de funciones cuadráticas.]]
: <math> f(x) = ax^2 + bx + c \, </math>
donde '''a''', '''b''' y '''c''' son constantes y '''a''' es distinto de 0.
La representación gráfica en el plano '''XY''' haciendo:
: <math> y = f(x) \, </math>
esto es:
: <math> y = ax^2 + bx + c \, </math>
es una [[Parábola (matemática)|parábola]] vertical, orientada hacia arriba o hacia abajo según el signo de '''a'''.
== Estudio de la función ==
==== Corte con el eje y ====
[[Archivo:Función cuadrática 11.svg |right|300px]]
La función corta el '''eje y''' en el punto y = f(0), es decir, la parábola corta el eje '''y''' cuando '''x''' vale cero (0):
: <math> y = f(0) = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c \, </math>
lo que resulta:
: <math> y = f(0) = c \, </math>
la función corta el '''eje y''' en el punto (0, c), siendo '''c''' el termino independiente de la función.
==== Corte con el eje x ====
La función corta al '''eje x''' cuando '''y''' vale 0:
: <math> ax^2 + bx + c = 0 \, </math>
▲las distintas soluciones de esta [[ecuación de segundo grado]], son los casos de corte con el '''eje x''', que se obtienen como es sabido por la expresión:
: <math> x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a} </math>
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según el signo del discriminante podemos distinguir:
* Δ > 0, la ecuación tiene dos soluciones, por tanto la parábola cortara al '''eje x''' en dos puntos: <math>x_1</math> y <math>x_2</math>.
* Δ = 0, la ecuación tiene una única solución en <math>x_1</math>, la parábola solo tiene un punto en común con el '''eje x''', el cual es el vértice de la función donde las dos ramas de la parábola confluyen.
* Δ < 0, la ecuación no tiene solución real, y la parábola no corta al '''eje x'''.
=== Forma factorizada ===
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<math>x_1</math> y <math>x_2</math> representan las raíces de <math>f(x)</math>. En el caso de que el '''Discriminante Δ''' sea igual a 0 entonces <math>x_1 = x_2</math> por lo que podríamos escribir:
: <math> f(x) = a(x - x_1)^2 \, </math>
En este caso a <math>x_1</math> se la denomina '''raíz doble''', ya que su orden de multiplicidad es 2
=== Forma canónica ===
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=== Extremos relativos ===
Para localizar los extremos relativos, se calcula la derivada de la función, y se iguala a cero, la solución a esta ecuación son los posibles máximos y mínimos de la función, en este caso, partiendo de la función cuadrática:
: <math> y = ax^2 + bx + c \, </math>
calculamos su derivada respecto a '''x''':
: <math> \frac{dy}{dx} = 2ax + b </math>
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y conocidos tres puntos del plano xy por los que pasa una función polinomica de segundo grado:
: <math> (x_1,y_1), \; (x_2,y_2), \; (x_3,y_3) </math>
se cumplira que:
: <math>y_1 = ax_{1}^2 +bx_1 +c </math>
: <math>y_2 = ax_{2}^2 +bx_2 +c </math>
: <math>y_3 = ax_{3}^2 +bx_3 +c </math>
con lo que tenemos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, donde las incógnitas son: a, b y c, este sistema tendrá solución si el determinante de los coeficientes de las incógnitas es distinto de cero.
== Véase también ==
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