Diferencia entre revisiones de «ProgramacionIngenieriaMecanicaUPB:Grupo 1320 07»

Contenido eliminado Contenido añadido
Vachito (discusión | contribs.)
Vachito (discusión | contribs.)
Línea 35:
Partamos de una solución particular
 
<math> Y(x,y,z,t)= A*e^{i*( k*( \alpa_xalpha_x + \beta_y + \gamma_z ) + \landa_tw_t ))} (1) </math> (1)
 
Donde α,β y γ son los cosenos directores de k. En términos de sus componentes, obtenemos la magnitud del vector de propagación y por ende se tiene que:
 
<math> \alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2=1 (2) </math> (2)
 
Con esto calculamos las derivadas parciales de la ecuación (1), y las sumamos para utilizar la ecuación(2) para obtener:
 
<math> \frac{d^2 Y}{dx^2} + \frac{d^2 Y}{dy^2} + \frac{d^2 Y}{dz^2}= -k^2 Y (3) </math> (3)
 
Combinando esto con la derivada del tiempo y recordando que v=w/k, se llega a:
 
<math> \frac{d^2 Y}{dx^2} + \frac{d^2 Y}{dy^2} + \frac{d^2 Y}{dz^2}= -1/v^2 \frac{d^2 Y}{dt^2} (4)</math>
(4)
 
Esta es la ecuación de onda tridimensional, por la simetría obvia de los frentes de onda (esferas concéntricas con diámetro creciente) es más conveniente realizar un cambio de coordenadas cartesianas a coordenadas esféricas polares, para utilizar el método de separación de variables.
 
Línea 55 ⟶ 56:
la ecuación diferencial de onda puede escribirse como
 
<math> \frac{d^2}{dr^2}Y_{r}= 1/v^2 \frac{d^2}{dt^2}Y_{r} (5) </math> (5)
 
<math> \frac{d}{dx}T_{xz}=\rho g\cos\beta </math>
 
Esta es la ecuación que obtenemos para hacer separación de variables
Línea 63 ⟶ 62:
Tendremos las siguientes condiciones iniciales:
 
<math> u(1,t)=0, u(R,t)=0, 1< r <R , t>0 (6) ( </math> (6)
 
<math> u(r, 0)=f{x}, \frac{du}{dt}|t=0=g{x}, 1< r <R (7) </math> (7)
 
Con la suposición usual de que:
 
<math> u(r, t)= X(r) T (t) (8) </math> (8)
 
De la ecuaciónes obtenidas con las condiciones de frontera anteriormente mencionadas, el único valor del parámetro λ para que no nos den soluciones triviales es λ=a^2, a>0, con las condiciones de fronteras X(0) =0 y X(R)=0 indican que C1=0 y 〖C2 sin(〗⁡〖aR)〗=0.
Línea 75 ⟶ 74:
Por tanto la primera solución seria:
 
<math> X(r)=〖C2C2sin((n \pi sin(〗⁡〖nπ/R) r),n=1,2,3,4,.. (9) </math> (9)
 
La solución general de la ecuación de segundo orden es:
 
<math> T(t)=C3 cos⁡〖C3cos(nπa(n \pi a/R) t)〗 〖+C4 sin(〗⁡〖nπa(n \pi a/R) t) (10) </math> (10)
 
Reescribiendo C2*C3 como An y C2*C4 como Bn, las ecuaciones que satisfacen tanto a la ecuación de onda y a las condiciones de frontera, y ademas haciendo nπ/R=k y nπa/R=ω para utilizar el teorema de adición de ángulos,específicamente la identidad trigonométrica del coseno de la diferencia ,se obtiene:
 
<math> Y(r,t)=(A/r) \cos_theta *cos(kr-w_t) \landa_t (11) </math> (11)
 
==Descripción del software==