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Diferencia entre revisiones de «ProgramacionIngenieriaMecanicaUPB:Grupo 1320 07»

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Línea 35:
Partamos de una solución particular
 
<math> Y(x,y,z,t)= A*e^i*( k*( \alpa xalpa_x + \beta ybeta_y + \gammagamma_z z) + \landalanda_t t) </math> (1)
 
Donde α,β y γ son los cosenos directores de k. En términos de sus componentes, obtenemos la magnitud del vector de propagación y por ende se tiene que:
<math> (L W\Delta x )(\rho g\cos\beta)]z=L </math> ▼
 
Donde<math> α,βy\alpha^2 γ+ son\beta^2 los+ cosenos\gamma^2=1 directores</math> de k. En términos de sus componentes, obtenemos la magnitud del vector de propagación y por ende se tiene que: (2)
α^2+β^2+γ^2=1 (2)
Con esto calculamos las derivadas parciales de la ecuación (1), y las sumamos para utilizar la ecuacion(2) paara obtener:
 
(∂^2Con Ψ)/〖∂x〗^2esto +(∂^2calculamos Ψlas derivadas parciales de la ecuación (1)/〖∂y〗^2, +y las sumamos para utilizar la ecuación(∂^2 Ψ)/〖∂z〗^2 =-k^2para obtener: Ψ (3)
 
<math> \frac{d^2 Y}{dx^2} + \frac{d^2 Y}{dy^2} + \frac{d^2 Y}{dz^2}= -k^2 Y </math> (3)
 
Combinando esto con la derivada del tiempo y recordando que v=w/k, se llega a:
 
(<math> ∂\frac{d^2 Ψ)/〖∂x〗Y}{dx^2} +(∂ \frac{d^2 Ψ)/〖∂y〗Y}{dy^2} +(∂ \frac{d^2 Ψ)/〖∂z〗Y}{dz^2 }= -1/v^2 (∂\frac{d^2 Ψ)/〖∂t〗Y}{dt^2} </math> (4)
 
Esta es la ecuación de onda tridimensional, por la simetría obvia de los frentes de onda (esferas concéntricas con diámetro creciente) es más conveniente realizar un cambio de coordenadas cartesianas a coordenadas esféricas polares, para utilizar el método de separación de variables.
Línea 55:
la ecuación diferencial de onda puede escribirse como
 
∂<math> \frac{d^2/(∂r}{dr^2 ) (ψ)}Y_{r}= 1/v^2 ∂\frac{d^2/〖∂t〗}{dt^2 (ψ)}Y_{r} </math> (5)
 
▲<math> (L W\Delta x )(frac{d}{dx}T_{xz}=\rho g\cos\beta)]z=L </math>
 
Esta es la ecuación que obtenemos para hacer separación de variables
Línea 61 ⟶ 63:
Tendremos las siguientes condiciones iniciales:
 
µ<math> u(1,t)=0, µu(R,t)=0, 1< r <R , t>0 </math> (6)
 
µ<math> u(r, 0) =f({x)}, (∂ µ)/∂t\frac{du}{dt}|t=0 = g({x)}, 1< r <R </math> (7)
 
Con la suposición usual de que:
 
µ<math> u(r, t)= X(r) T (t) </math> (8)
 
De la ecuaciónes obtenidas con las condiciones de frontera anteriormente mencionadas, el único valor del parámetro λ para que no nos den soluciones triviales es λ=a^2, a>0, con las condiciones de fronteras X(0) =0 y X(R)=0 indican que C1=0 y 〖C2 sin(〗⁡〖aR)〗=0.
Línea 73 ⟶ 75:
Por tanto la primera solución seria:
 
<math>X(r)=〖C2 sin(〗⁡〖nπ/R r),n=1,2,3,4,..〗 </math> (9)
 
La solución general de la ecuación de segundo orden es:
 
<math>T(t)=C3 cos⁡〖(nπa/R t)〗 〖+C4 sin(〗⁡〖nπa/R t)〗 </math> (10)
 
Reescribiendo C2*C3 como An y C2*C4 como Bn, las ecuaciones que satisfacen tanto a la ecuación de onda y a las condiciones de frontera son:
 
µ(r,t)={├ An 〖 cos〗⁡〖(nπa/R t)+Bn 〖 sin⁡(〗⁡〖nπa/R t)〗 〗 } 〖 sin(〗⁡〖nπ/R r) 〗 (11)
 
Posteriormente se hace nπ/R=k y nπa/R=ω y reemplazando en la ecuación (11) An y Bn se tiene que:
 
 
µ(r,t)=A{〖 cos(〗⁡〖kr) 〗 ├ 〖 cos〗⁡〖(ωt)+〖 sin(〗⁡〖kr) 〗 〖 sin⁡(〗⁡〖ωt)〗 〗 } (12)
 
UtilizandoReescribiendo C2*C3 como An y C2*C4 como Bn, las ecuaciones que satisfacen tanto a la ecuación de onda y a las condiciones de frontera, y ademas haciendo nπ/R=k y nπa/R=ω para utilizar el teorema de adición de ángulos, específicamente la identidad trigonométrica del coseno de la diferencia , y despejando de la ecuación (23) ψ ,se obtienobtiene:
 
ψ<math> Y(r,t)=(A/r)cos⁡ \cos_theta *(kr-ωt \landa_t)</math> (1311)
 
==Descripción del software==
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