Diferencia entre revisiones de «ProgramacionIngenieriaMecanicaUPB:Grupo 1320 07»
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Partamos de una solución particular
Ψ(x,y,z,t)=Ae^i[k(αx+βy+γz)∓wt] (1)
Donde α,βy γ son los cosenos directores de k. En términos de sus componentes, obtenemos la magnitud del vector de propagación
Con esto calculamos las derivadas parciales de la ecuación (1), y las sumamos para utilizar la ecuacion(2) paara obtener:
(∂^2 Ψ)/〖∂x〗^2 +(∂^2 Ψ)/〖∂y〗^2 +(∂^2 Ψ)/〖∂z〗^2 =-k^2 Ψ (3)
Combinando esto con la derivada del tiempo y recordando que v=w/k, se llega a:
( ∂^2 Ψ)/〖∂x〗^2 +(∂^2 Ψ)/〖∂y〗^2 +(∂^2 Ψ)/〖∂z〗^2 =-1/v^2 (∂^2 Ψ)/〖∂t〗^2 (4)
Esta es la ecuación de onda tridimensional, por la simetría obvia de los frentes de onda (esferas concéntricas con diámetro creciente) es más conveniente realizar un cambio de coordenadas cartesianas a coordenadas esféricas polares, para utilizar el método de separación de variables.
la ecuación diferencial de onda puede escribirse como
∂^2/(∂r^2 ) (ψ)r=1/v^2 ∂^2/〖∂t〗^2 (ψ)r (5)
Esta es la ecuación que obtenemos para hacer separación de variables
Tendremos las siguientes condiciones iniciales:
µ (1,t)=0, µ(R,t)=0, 1< r <R , t>0 (
µ(r, 0) =f(x), (∂ µ)/∂t|t=0 = g(x), 1< r <R (
Con la suposición usual de que:
µ(r, t)= X(r) T (t) (
De la ecuaciónes obtenidas con las condiciones de frontera anteriormente mencionadas, el único valor del parámetro λ para que no nos den soluciones triviales es λ=a^2, a>0, con las condiciones de fronteras X(0) =0 y X(R)=0 indican que C1=0 y 〖C2 sin(〗〖aR)〗=0.
Por tanto la primera solución seria:
X(r)=〖C2 sin(〗〖nπ/R r),n=1,2,3,4,..〗 (
La solución general de la ecuación de segundo orden es:
T(t)=C3 cos〖(nπa/R t)〗 〖+C4 sin(〗〖nπa/R t)〗 (
Reescribiendo C2*C3 como An y C2*C4 como Bn, las ecuaciones que satisfacen tanto a la ecuación de onda
µ(r,t)={├ An 〖 cos〗〖(nπa/R t)+Bn 〖 sin(〗〖nπa/R t)〗 〗 } 〖 sin(〗〖nπ/R r) 〗 (11)
Posteriormente se hace nπ/R=k y nπa/R=ω y reemplazando en la ecuación (11) An y Bn se tiene que:
µ(r,t)=A{〖 cos(〗〖kr) 〗 ├ 〖 cos〗〖(ωt)+〖 sin(〗〖kr) 〗 〖 sin(〗〖ωt)〗 〗 } (12)
Utilizando el teorema de adición de ángulos, específicamente la identidad trigonométrica del coseno de la diferencia , y despejando de la ecuación (23) ψ ,se obtien:
ψ(r,t)=(A/r)cos(kr-ωt) (13)
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