Diferencia entre revisiones de «ProgramacionIngenieriaMecanicaUPB:Grupo 1320 07»

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Vachito (discusión | contribs.)
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Línea 35:
Partamos de una solución particular
Ψ(x,y,z,t)=Ae^i[k(αx+βy+γz)∓wt] (1)
Donde α,βy γ son los cosenos directores de k. En términos de sus componentes, obtenemos la magnitud del vector de propagación está dado y por ende se tiene que:
|k|=k=〖(k_x α^2+k_yβ^2+k_zγ^2)〗^(=1/2) (2)
Con esto calculamos las derivadas parciales de la ecuación (1), y las sumamos para utilizar la ecuacion(2) paara obtener:
Y por ende se tiene que:
α^2+β^2+γ^2=1 (3)
Calcularemos las derivadas parciales de la ecuación (1), obteniendo:
 
(∂^2 Ψ)/〖∂x〗^2 +(∂^2 Ψ)/〖∂y〗^2 +(∂^2 Ψ)/〖∂z〗^2 =-k^2 Ψ (3)
 
Combinando esto con la derivada del tiempo y recordando que v=w/k, se llega a:
(∂^2 Ψ)/〖∂x〗^2 =-α^2 k^2 Ψ (4)
 
( ∂^2 Ψ)/〖∂x〗^2 +(∂^2 Ψ)/〖∂y〗^2 +(∂^2 Ψ)/〖∂z〗^2 =-1/v^2 (∂^2 Ψ)/〖∂t〗^2 (4)
(∂^2 Ψ)/〖∂y〗^2 =-β^2 k^2 Ψ (5)
 
 
(∂^2 Ψ)/〖∂z〗^2 =-γ^2 k^2 Ψ (6)
 
 
(∂^2 Ψ)/〖∂t〗^2 =-w^2 Ψ (7)
 
Sumando las tres derivadas espaciales (4.1), (4.2), (4.3) y utilizando la ecuación (3) se obtiene:
 
(∂^2 Ψ)/〖∂x〗^2 +(∂^2 Ψ)/〖∂y〗^2 +(∂^2 Ψ)/〖∂z〗^2 =-k^2 Ψ (8)
 
Combinando esto con la derivada del tiempo, ecuación (4.4) y recordando que v=w/k, se llega a:
 
( ∂^2 Ψ)/〖∂x〗^2 +(∂^2 Ψ)/〖∂y〗^2 +(∂^2 Ψ)/〖∂z〗^2 =-1/v^2 (∂^2 Ψ)/〖∂t〗^2 (9)
 
Esta es la ecuación de onda tridimensional, por la simetría obvia de los frentes de onda (esferas concéntricas con diámetro creciente) es más conveniente realizar un cambio de coordenadas cartesianas a coordenadas esféricas polares, para utilizar el método de separación de variables.
la ecuación diferencial de onda puede escribirse como
 
∂^2/(∂r^2 ) (ψ)r=1/v^2 ∂^2/〖∂t〗^2 (ψ)r (5)
El Laplaciano en coordenadas esféricas es:
 
∇^2≡1/r^2 ∂/∂r (r^2 ∂/∂r)+1/(r^2 sin⁡θ ) ∂/∂θ(sin⁡〖θ ∂/∂θ)+1/(r^2 〖sin⁡θ〗^2 ) ∂^2/〖∂ϕ〗^2 〗 (10)
 
Donde:
 
X= r sin⁡θ cos⁡ϕ, Y= r sin⁡θ sin⁡ϕ, Z= r cos⁡θ.
El laplaciano de ψ(r)es simplemente:
 
∇^2 ψ(r)=1/r^2 ∂/∂r (r^2 ∂ψ/∂r) (11)
 
∂ψ/∂x=∂ψ/∂r ∂r/∂x (12)
 
(∂^2 ψ)/(∂x^2 )=(∂^2 ψ)/〖∂r〗^2 (∂ψ/∂r )^2+∂ψ/∂r (∂^2 r)/(∂x^2 ) (13)
 
Ya que:
 
ψ(r)=ψ(r) (14)
 
Utilizando
 
x^2+y^2+z^2=r^2 (15)
 
Tenemos
 
∂r/∂x=x/r (16)
 
(∂^2 r)/(∂x^2 )=1/r ∂/∂x (x)+x ∂/∂x (1/r)=1/r (1-x^2/r^2 ) (17)
 
Y
(∂^2 ψ)/(∂x^2 )=x^2/r^2 (∂^2 ψ)/(∂r^2 )+1/r (1-x^2/r^2 ) ∂ψ/∂r (18)
 
Ahora teniendo (∂^2 ψ)/(∂x^2 ), formamos (∂^2 ψ)/(∂y^2 ) y (∂^2 ψ)/(∂z^2 ) y sumando obtenemos:
 
∇^2 ψ(r)=(∂^2 ψ)/(∂r^2 )+2/r ∂ψ/∂r (19)
 
Lo cual es equivalente a la ecuación, este resultado puede expresarse de forma ligeramente diferente:
 
∇^2 ψ(r)=1/r ∂^2/(∂r^2 )(ψr) (20)
 
La ecuación diferencial de onda puede escribirse como
 
1/r ∂^2/(∂r^2 ) (ψr)=1/v^2 ∂^2ψ/〖∂t〗^2 (21)
 
Multiplicando a ambos lados por r tenemos
 
∂^2/(∂r^2 ) (ψ)r=1/v^2 ∂^2/〖∂t〗^2 (ψ)r (22)
 
Esta es la ecuación que obtenemos para hacer separación de variables
 
µ(r,t)=(Ψ)r (23)
 
1/v^2 =a^2 (24)
a^2 (∂^2µ)/(∂r^2 )=(∂^2µ)/〖∂t〗^2 (25)
 
Tendremos las siguientes condiciones iniciales:
 
µ (1,t)=0, µ(R,t)=0, 1< r <R , t>0 (266)
 
µ(r, 0) =f(x), (∂ µ)/∂t|t=0 = g(x), 1< r <R (277)
 
Con la suposición usual de que:
 
µ(r, t)= X(r) T (t) (288)
 
De la ecuaciónes obtenidas con las condiciones de frontera anteriormente mencionadas, el único valor del parámetro λ para que no nos den soluciones triviales es λ=a^2, a>0, con las condiciones de fronteras X(0) =0 y X(R)=0 indican que C1=0 y 〖C2 sin(〗⁡〖aR)〗=0.
la separación de variables en (24) nos conduce a:
 
X"/X=T"/(a^2 T)= -λ (29)
Por lo cual tendríamos dos ecuaciones, serán las siguientes:
 
X" +λX=0 (30)
 
T"+a^2 λT=0 (31)
 
De la ecuación (29) con las condiciones de frontera anteriormente mencionadas, el único valor del parámetro λ para que no nos den soluciones triviales es λ=a^2, a>0, La solución general de (29) seria:
 
X=C1 cos⁡〖(ar)〗 〖+C2 sin(〗⁡〖ar)〗 (32)
 
Las condiciones de fronteras X(0) =0 y X(R)=0 indican que C1=0 y 〖C2 sin(〗⁡〖aR)〗=0,
De esta última ecuación C2 ≠ 0, por lo cual:
 
〖 sin(〗⁡〖aR)〗=0 (33)
 
aR=nπ (34)
 
λ=(n^2 π^2)/R^2 (35)
 
Por tanto la primera solución seria:
 
X(r)=〖C2 sin(〗⁡〖nπ/R r),n=1,2,3,4,..〗 (369)
 
La solución general de la ecuación de segundo orden es:
 
T(t)=C3 cos⁡〖(nπa/R t)〗 〖+C4 sin(〗⁡〖nπa/R t)〗 (3710)
 
Reescribiendo C2*C3 como An y C2*C4 como Bn, las ecuaciones que satisfacen tanto a la ecuación de onda (24) y a las condiciones de frontera (25) y (26) son:
 
µ(r,t)={├ An 〖 cos〗⁡〖(nπa/R t)+Bn 〖 sin⁡(〗⁡〖nπa/R t)〗 〗 } 〖 sin(〗⁡〖nπ/R r) 〗 (11)
 
Posteriormente se hace nπ/R=k y nπa/R=ω y reemplazando en la ecuación (11) An y Bn se tiene que:
µ(r,t)={├ An 〖 cos〗⁡〖(nπa/R t)+Bn 〖 sin⁡(〗⁡〖nπa/R t)〗 〗 } 〖 sin(〗⁡〖nπ/R r) 〗 (38)
 
Donde An y Bn estarían definidas por las siguientes integrales:
 
µ(r,t)=A{〖 cos(〗⁡〖kr) 〗 ├ 〖 cos〗⁡〖(ωt)+〖 sin(〗⁡〖kr) 〗 〖 sin⁡(〗⁡〖ωt)〗 〗 } (12)
 
An=2/R ∫_0^R▒〖f(r) sin⁡〖nπ/R r dr〗 〗=A (cos⁡(nπ/R))/(sin⁡(nπ/R)) (39)
 
 
Bn=2/nπa ∫_0^R▒〖g(r) sin⁡〖nπ/R r dr=A (sin⁡(nπa/R))/(cos⁡(nπa/R))〗 〗 (40)
 
Siendo f(x) y g(x) funciones arbitrarias que describen la dirección de la perturbación del medio, una alejándose de la fuente y la otra acercándose a ella, respectivamente.
Posteriormente se hace nπ/R=k y nπa/R=ω y reemplazando en la ecuación (38) An y Bn se tiene que:
 
 
µ(r,t)=A{〖 cos(〗⁡〖kr) 〗 ├ 〖 cos〗⁡〖(ωt)+〖 sin(〗⁡〖kr) 〗 〖 sin⁡(〗⁡〖ωt)〗 〗 } (41)
 
Utilizando el teorema de adición de ángulos, específicamente la identidad trigonométrica del coseno de la diferencia , y despejando de la ecuación (23) ψ ,se obtien:
 
ψ(r,t)=(A/r)cos⁡(kr-ωt) (13)
 
ψ(r,t)=(A/r)cos⁡(kr-ωt) (42)
 
==Descripción del software==