Diferencia entre revisiones de «ProgramacionIngenieriaMecanicaUPB:Grupo 1320 07»
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Línea 34:
(∂^2 Ψ)/〖∂x〗^2 =-α^2 k^2 Ψ (4)
(∂^2 Ψ)/〖∂y〗^2 =-β^2 k^2 Ψ (5)
(∂^2 Ψ)/〖∂z〗^2 =-γ^2 k^2 Ψ (6)
(∂^2 Ψ)/〖∂t〗^2 =-w^2 Ψ (7)
Sumando las tres derivadas espaciales (4.1), (4.2), (4.3) y utilizando la ecuación (3) se obtiene:
(∂^2 Ψ)/〖∂x〗^2 +(∂^2 Ψ)/〖∂y〗^2 +(∂^2 Ψ)/〖∂z〗^2 =-k^2 Ψ (8)
Combinando esto con la derivada del tiempo, ecuación (4.4) y recordando que v=w/k, se llega a:
Línea 103:
∂^2/(∂r^2 ) (ψ)r=1/v^2 ∂^2/〖∂t〗^2 (ψ)r (22)
Esta es la ecuación que obtenemos para hacer separación de variables
Línea 154 ⟶ 155:
Reescribiendo C2*C3 como An y C2*C4 como Bn, las ecuaciones que satisfacen tanto a la ecuación de onda (24) y a las condiciones de frontera (25) y (26) son:
µ(r,t)={├ An 〖 cos〗〖(nπa/R t)+Bn 〖 sin(〗〖nπa/R t)〗 〗 } 〖 sin(〗〖nπ/R r) 〗 (38)
Donde An y Bn estarían definidas por las siguientes integrales:
An=2/R ∫_0^R▒〖f(r) sin〖nπ/R r dr〗 〗=A (cos(nπ/R))/(sin(nπ/R)) (39)
Bn=2/nπa ∫_0^R▒〖g(r) sin〖nπ/R r dr=A (sin(nπa/R))/(cos(nπa/R))〗 〗 (40)
Línea 165 ⟶ 169:
Posteriormente se hace nπ/R=k y nπa/R=ω y reemplazando en la ecuación (38) An y Bn se tiene que:
µ(r,t)=A{〖 cos(〗〖kr) 〗 ├ 〖 cos〗〖(ωt)+〖 sin(〗〖kr) 〗 〖 sin(〗〖ωt)〗 〗 } (41)
Utilizando el teorema de adición de ángulos, específicamente la identidad trigonométrica del coseno de la diferencia , y despejando de la ecuación (23) ψ ,se obtien:
ψ(r,t)=(A/r)cos(kr-ωt) (42)
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