Diferencia entre revisiones de «ProgramacionIngenieriaMecanicaUPB:Grupo 1320 07»
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==Diseño de la solución==
La ecuación a trabajar es una ecuación de onda tridimensional.
Partamos de una solución particular
Ψ(x,y,z,t)=Ae^i[k(αx+βy+γz)∓wt] (1)
Donde α,βy γ son los cosenos directores de k. En términos de sus componentes, la magnitud del vector de propagación está dado por:
|k|=k=〖(k_x^2+k_y^2+k_z^2)〗^(1/2) (2)
Y por ende se tiene que:
α^2+β^2+γ^2=1 (3)
Calcularemos las derivadas parciales de la ecuación (1), obteniendo:
(∂^2 Ψ)/〖∂x〗^2 =-α^2 k^2 Ψ (4)
(∂^2 Ψ)/〖∂y〗^2 =-β^2 k^2 Ψ (5)
(∂^2 Ψ)/〖∂z〗^2 =-γ^2 k^2 Ψ (6)
(∂^2 Ψ)/〖∂t〗^2 =-w^2 Ψ (7)
Sumando las tres derivadas espaciales (4.1), (4.2), (4.3) y utilizando la ecuación (3) se obtiene:
(∂^2 Ψ)/〖∂x〗^2 +(∂^2 Ψ)/〖∂y〗^2 +(∂^2 Ψ)/〖∂z〗^2 =-k^2 Ψ (8)
Combinando esto con la derivada del tiempo, ecuación (4.4) y recordando que v=w/k, se llega a:
( ∂^2 Ψ)/〖∂x〗^2 +(∂^2 Ψ)/〖∂y〗^2 +(∂^2 Ψ)/〖∂z〗^2 =-1/v^2 (∂^2 Ψ)/〖∂t〗^2 (9)
Esta es la ecuación de onda tridimensional, por la simetría obvia de los frentes de onda (esferas concéntricas con diámetro creciente) es más conveniente realizar un cambio de coordenadas cartesianas a coordenadas esféricas polares, para utilizar el método de separación de variables.
El Laplaciano en coordenadas esféricas es:
∇^2≡1/r^2 ∂/∂r (r^2 ∂/∂r)+1/(r^2 sinθ ) ∂/∂θ(sin〖θ ∂/∂θ)+1/(r^2 〖sinθ〗^2 ) ∂^2/〖∂ϕ〗^2 〗 (10)
Donde:
X= r sinθ cosϕ, Y= r sinθ sinϕ, Z= r cosθ.
El laplaciano de ψ(r)es simplemente
∇^2 ψ(r)=1/r^2 ∂/∂r (r^2 ∂ψ/∂r) (11)
∂ψ/∂x=∂ψ/∂r ∂r/∂x (12)
(∂^2 ψ)/(∂x^2 )=(∂^2 ψ)/〖∂r〗^2 (∂ψ/∂r )^2+∂ψ/∂r (∂^2 r)/(∂x^2 ) (13)
Ya que:
ψ(r)=ψ(r) (14)
Utilizando
x^2+y^2+z^2=r^2 (15)
Tenemos
∂r/∂x=x/r (16)
(∂^2 r)/(∂x^2 )=1/r ∂/∂x (x)+x ∂/∂x (1/r)=1/r (1-x^2/r^2 ) (17)
Y
(∂^2 ψ)/(∂x^2 )=x^2/r^2 (∂^2 ψ)/(∂r^2 )+1/r (1-x^2/r^2 ) ∂ψ/∂r (18)
Ahora teniendo (∂^2 ψ)/(∂x^2 ), formamos (∂^2 ψ)/(∂y^2 ) y (∂^2 ψ)/(∂z^2 ) y sumando obtenemos:
∇^2 ψ(r)=(∂^2 ψ)/(∂r^2 )+2/r ∂ψ/∂r (19)
Lo cual es equivalente a la ecuación, este resultado puede expresarse de forma ligeramente diferente:
∇^2 ψ(r)=1/r ∂^2/(∂r^2 )(ψr) (20)
La ecuación diferencial de onda puede escribirse como
1/r ∂^2/(∂r^2 ) (ψr)=1/v^2 ∂^2ψ/〖∂t〗^2 (21)
Multiplicando a ambos lados por r tenemos
∂^2/(∂r^2 ) (ψ)r=1/v^2 ∂^2/〖∂t〗^2 (ψ)r (22)
Esta es la ecuación que obtenemos para hacer separación de variables
µ(r,t)=(Ψ)r (23)
1/v^2 =a^2 (24)
a^2 (∂^2µ)/(∂r^2 )=(∂^2µ)/〖∂t〗^2 (25)
Tendremos las siguientes condiciones iniciales
µ (1,t)=0, µ(R,t)=0, 1< r <R , t>0 (26)
µ(r, 0) =f(x), (∂ µ)/∂t|t=0 = g(x), 1< r <R (27)
Con la suposición usual de que
µ(r, t)= X(r) T (t) (28)
la separación de variables en (24) nos conduce a:
X"/X=T"/(a^2 T)= -λ (29)
Por lo cual tendríamos dos ecuaciones, serán las siguientes.
X" +λX=0 (30)
T"+a^2 λT=0 (31)
De la ecuación (29) con las condiciones de frontera anteriormente mencionadas, el único valor del parámetro λ para que no nos den soluciones triviales es λ=a^2, a>0, La solución general de (29) seria:
X=C1 cos〖(ar)〗 〖+C2 sin(〗〖ar)〗 (32)
Las condiciones de fronteras X(0) =0 y X(R)=0 indican que C1=0 y 〖C2 sin(〗〖aR)〗=0,
De esta última ecuación C2 ≠ 0, por lo cual:
〖 sin(〗〖aR)〗=0 (33)
aR=nπ (34)
λ=(n^2 π^2)/R^2 (35)
Por tanto la primera solución seria
X(r)=〖C2 sin(〗〖nπ/R r),n=1,2,3,4,..〗 (36)
La solución general de la ecuación de segundo orden es:
T(t)=C3 cos〖(nπa/R t)〗 〖+C4 sin(〗〖nπa/R t)〗 (37)
Reescribiendo C2*C3 como An y C2*C4 como Bn, las ecuaciones que satisfacen tanto a la ecuación de onda (24) y a las condiciones de frontera (25) y (26) son
µ(r,t)={├ An 〖 cos〗〖(nπa/R t)+Bn 〖 sin(〗〖nπa/R t)〗 〗 } 〖 sin(〗〖nπ/R r) 〗 (38)┤
Donde An y Bn estarían definidas por las siguientes integrales.
An=2/R ∫_0^R▒〖f(r) sin〖nπ/R r dr〗 〗=A (cos(nπ/R))/(sin(nπ/R)) (39)
Bn=2/nπa ∫_0^R▒〖g(r) sin〖nπ/R r dr=A (sin(nπa/R))/(cos(nπa/R))〗 〗 (40)
Siendo f(x) y g(x) funciones arbitrarias que describen la dirección de la perturbación del medio, una alejándose de la fuente y la otra acercándose a ella, respectivamente.
Posteriormente se hace nπ/R=k y nπa/R=ω y reemplazando en la ecuación (38) An y .Bn se tiene que.
µ(r,t)=A{〖 cos(〗〖kr) 〗 ├ 〖 cos〗〖(ωt)+〖 sin(〗〖kr) 〗 〖 sin(〗〖ωt)〗 〗 } (41)┤
Utilizando el teorema de adición de ángulos, específicamente la identidad trigonométrica del coseno de la diferencia , y despejando de la ecuación (23) ψ ,se obtien
ψ(r,t)=(A/r)cos(kr-ωt) (42)
==Descripción del software==
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