Diferencia entre revisiones de «Colisiones/Colisiones en tres dimensiones»
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Línea 19:
Haciendo entonces la suposición de que la componente Z del vector de posición es una función del tiempo infinitamente derivable, deduciremos que la función <math>g(\|\vec{r_2}-\vec{r_1}\|)=\cfrac{1}{m_1}\cfrac{f(\|\vec{r_2}-\vec{r_1}\|)}{\| \vec{r_2}-\vec{r_1}\|}</math> también lo ha de ser. Si escribimos <math>\ddot{z}_1=g(\|\vec{r_2}-\vec{r_1}\|)(z_2-z_1)</math>, se puede demostrar por inducción que:
{{Ecuación|<math> \cfrac{d^ng}{dt^n}=\sum_{i=0}^{n-1} {n-1 \choose i}\cfrac{d^ig}{dt^i}\left ( \cfrac{d^{n-1-i}z_2}{dt^{n-1-i}}-\cfrac{d^{n-1-i}
La ecuación {{Eqnref|4}} indica que cada derivada se puede expresar como un sumatorio de algo por derivadas de <math>(z_2-z_1)</math> de orden inferior a la derivada que se desea calcular, pero por las condiciones iniciales {{Eqnref|3}}, se puede demostrar por inducción que todos los términos de dicho sumatorio han de anularse y podremos utilizar el desarrollo de Taylor para determinar que <math>z_1=z_2=0</math>. Se puede concluir entonces que las partículas se mantienen en todo momento en el plano definido por la velocidad inicial de la partícula incidente y la línea que une los dos puntos en el instante inicial.
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