Diferencia entre revisiones de «Colisiones/Colisiones en tres dimensiones»

Si únicamente actuan fuerzas centrales, en el sistema de laboratorio en que una partícula esta incialmente en reposo, todas las aceleraciones estarán dirigidas en cada momento en la dirección de la recta que une las dos partículas en colisión, por lo que dicha fuerza central entre las dos partículas se puede expresar como:

{{Ecuación|<math> F_{1z}(\vec{r})=m_1\ddot{z}_1=f(\|\vec{r_2}-\vec{r_1}\|)\frac{(z_2-z_1)}{\| \vec{r_2}-\vec{r_1}\|}</math>|2|center}}

ySiendo lalas condiciones iniciales son:

{{Ecuación|<math> \begin{Bmatrix} z_1(0)=z_2(0) \\ \dot{z}_1(0)=\dot{z}_2(0)=0 \\ \ddot{z}_1(0)=\ddot{z}_2(0)=0 \end{Bmatrix}</math>|3|center}}

Donde lalas condiciones iniciales para la acelaración se deducededucen sustituyendo en la ecuación {{Eqnref|2}} las condiciones iniciales para la coordenada Z.

Haciendo entonces la suposición de que la componente Z del vector de posición es una función del tiempo infinitamente derivable, deduciremos que la función <math>g(\|\vec{r_2}-\vec{r_1}\|)=\cfrac{1}{m_1}\cfrac{f(\|\vec{r_2}-\vec{r_1}\|)}{\| \vec{r_2}-\vec{r_1}\|}</math>, también lo ha de ser. Si escribimos <math>\ddot{z}_1=g(\|\vec{r_2}-\vec{r_1}\|)(z_2-z_1)</math>, se puede demostrar por inducción que:

{{Ecuación|<math> \cfrac{d^ng}{dt^n}=\sum_{i=0}^{n-1} {n-1 \choose i}\cfrac{d^ig}{dt^i}\left ( \cfrac{d^{n-1-i}z_2}{dt^{n-1-i}}-\cfrac{d^{n-1-i}z_2}{dt^{n-1-i}} \right ) </math>|4|center}}

La ecuación {{Eqnref|4}} indica que cada derivada se puede expresar como un sumatorio de algo por derivadas de <math>(z_2-z_1)</math> de orden inferior a la dervadaderivada que se desea calcular, pero por las condiciones iniciales {{Eqnref|3}}, se puede demostrademostrar por inducción que todos los términos de dicho sumatorio han de anularse y podremos utilizar el desarrollo de Taylor para determinar que <math>z_1=z_2=0</math>. Se puede concluir entonces que las partículas se mantienen en todo momento en el plano definido por la velocidad inicial de la particulapartícula incidente y la línea que une los dos puntos en el instante inicial.

Donde las variables sin primar corresponden al caso antes del choque y las primadas, al de después del mismo. En {{Eqnref|5}} se conocen las masas y <math>p_1</math>, por tantolo que quedan 4 incógnitas, los momentesmomentos y los ángulos finales y sólo 3 ecuaciones, por lo que nosencontrándonos encontramosasí con un sistema subdeterminado para el que existen diferentes estados finales para un mismo valor de <math>p_1</math>. El sistema se convierte en determinado si se incluye el parámetro de impacto, que es un parámetro dificil de conocer elen la mayoriamayoría de las situaciones que se encuentran en el laboratorio. Resolviendo las ecuaciones de conservación del momento lineal en función de <math>\cos \theta_1</math> se llega a:

queQue al sustituirla en la ecuación de la conservacióconservación de la energía y resolviendo para <math>p_1'</math>:

El análisanálisis de la ecuación {{Eqnref|7}} en función de la relación de masas permite extraer las siguientes conclusiones:

En este caso, el discriminante de {{Eqnref|7}} es negativo si <math>\theta_1>\theta_m</math>, siendo

Por lo tanto, <math>\theta_m</math> es el ángulo máximo de desviación de la partícula 1 y en el caso <math>m_1>>m_2</math>, se concluye que <math>\theta_m</math> es proximopróximo a cero, es decir, la partícula blanco no puede desviar significativamente al proyectil.

En particular, <math>\theta_1=0</math> corresponde a los casos de ausencia de colisión (la partícula 1 pasa sin verse afectada por la 2) y ade colisión frontal. Para este último caso, se tiene que ambas partículas acaban desplazandose hacia adelantedelante, siendo la más ligera la más veloz, ya que:

deDe modo que <math>\cfrac{v_2'}{v_1'}=\cfrac{2m_1}{(m_1-m_2)}</math>.

Se ve que <math>\theta_1+\theta_2=\cfrac{\pi}{2}</math>, es decir, en el sistema de laboratorio, dos partículas de la misma masa salen con una separación de 90º.

En general, <math>\theta_1</math> varía desde 0 (sin colisión) a <math>\cfrac{\pi}{2}</math> (colisión frontal, con transferencia total de momento de una a otra partícula).

De donde se deduce que <math>p=p'</math>, ysiendo por tanto el único dato que queda por determinar es <math>\theta</math>

pudiendoPudiendo ser <math>1 \equiv 3</math> y <math>2 \equiv 4</math>, salvo un cambio de energía interna.

Finalmente, la expresión de las ecuaciones a resolver es:

siendoSiendo <math>Q</math> la energía absorbida o liberada.