Diferencia entre revisiones de «Oscilaciones armónicas en una dimensión»
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== Introducción ==
Dada una variable física (distancia, ángulo), cuando las fuerzas que actuan son proporcionales y de sentido inverso a la separación de un valor de equilibrio, se producen oscilaciones armónicas de la variable física. Si la variable es l, la ecuación matemática que gobierna el mecanismo es▼
▲Dada una variable física (distancia, ángulo), cuando las fuerzas que
{{Ecuación|<math> \frac{d^2l}{dt^2}=-kl</math>|1|center}}▼
La solución a la ecuación diferencial {{Eqnref|1}} es▼
{{Ecuación|<math> l=Asen(\sqrt{k}t)+Bcos(\sqrt{k}t)</math>|2|center}}▼
{{Ecuación|<math>l=Asen(\sqrt{k}t)+Bcos(\sqrt{k}t)</math>|2|center}}
El movimiento es periódico, ya que después de un tiempo <math>t=\frac{2\pi}{k}</math> se recupera la posición inicial. == Ley de Hooke ==
La ecuación {{Eqnref|1}} se aplica al comportamiento de muelles, cuando la desviación de la posición de equilibrio es pequeña. Si se considera la variable de posición x se tiene entonces que▼
▲La ecuación {{Eqnref|1}} se aplica al comportamiento de muelles, cuando la desviación de la posición de equilibrio es pequeña. Si se considera la variable de posición x, se tiene entonces
== Péndulo simple ==
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Al separar la masa de su punto de equilibrio, oscila a ambos lados de dicha posición, realizando un movimiento armónico simple. En la posición de uno de los extremos, se produce un equilibrio de fuerzas. Para derivar las ecuaciones pertenecientes a un péndulo gravitacional se deben hacer las siguientes hipótesis:
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* Movimiento en el vacío
La flecha azul representa la fuerza
{{Ecuación|<math>F=ma</math>|4|center}}
donde ''F'' es la fuerza actuando sobre la masa ''m'', haciendo que acelere ''a'' metros por segundo cuadrado. Ya que la masa está obligada a
{{Ecuación|<math>F = mg\sin\theta = ma</math>|5|center}}
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{{Ecuación|<math>a = g \sin\theta</math>|6|center}}
La fuerza perpendicular, que mantiene la masa en estado de equilibrio con la tensión del hilo, es
{{Ecuación|<math>F = mg\cos\theta</math>|7|center}}
Aceleración lineal <math>a</math> por el axis rojo está relacionado con el cambio en el
{{Ecuación|<math>
{{Ecuación|<math>
{{Ecuación|<math>
Esta aceleración no toma en cuenta que el ángulo <math>\theta</math> está disminuyendo. Por lo tanto, la aceleración <math>a</math> tiene que llevar un signo negativo:
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{{Ecuación|<math>\ell{d^2\theta\over dt^2} = - g \sin\theta</math>|11|center}}
Para oscilaciones pequeñas <math>\sin\theta\approx\theta</math>
Recuperandose la ecuación básica de las oscilaciones armónicas {{Eqnref|1}}
El periodo de oscilación de un péndulo simple restringido a oscilaciones de pequeña amplitud es
{{Ecuación|<math>T = 2 \pi \sqrt{\ell\over g}</math>|13|center}}
[[Categoría:
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