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Diferencia entre revisiones de «Aritmética y Teoría de Números»

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AritméticaLa aritmética es la rama de las matemáticas que estudia ciertas operaciones de los números y sus propiedades elementales. Proviene del origen griego ''arithmos'' y ''techne'' que quieren decir respectivamente números y habilidad.
 
==Suma==▼
La Aritmética tiene 7 operaciones basicas que son:
 
* Adición
* Sustracción
* Multiplicación
* División
* Potenciación
* Radicación
* Logaritmación
▲Suma
 
La suma o adición es la operación matemática de combinar o añadir dos números para obtener una cantidad final o total. La suma también ilustra el proceso de juntar dos colecciones de objetos con el fin de obtener una sola colección. Por otro lado, la acción repetitiva de sumar uno, es la forma más básica de contar.
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En términos más formales, la suma es una operación aritmética definida sobre conjuntos de números (naturales, enteros, racionales, reales y complejos) y también sobre estructuras asociadas a ellos, como espacios vectoriales con vectores cuyas componentes sean estos números o funciones que tengan su imagen en ellos.
 
En el álgebra moderna se utiliza el nombre suma y su símbolo "'''+"''' para representar la operación formal de un anillo que dota al anillo de estructura de grupo abeliano, o la operación de un módulo que dota al módulo de estructura de grupo abeliano. También se utiliza a veces en teoría de grupos para representar la operación que dota a un conjunto de estructura de grupo. En estos casos se trata de una denominación puramente simbólica, sin que necesariamente coincida esta operación con la suma habitual en números, funciones, vectores...
Propiedades de la suma
 
{| class="wikitable" border="1"
1. Propiedad conmutativa: si se altera el orden de los sumandos no cambia el resultado, de esta forma, a+b=b+a.▼
|-
2. Propiedad asociativa: a+(b+c) = (a+b)+c
! Propiedad
3. Elemento neutro: 0. Para cualquier número a, a + 0 = 0 + a = a.
! Ejemplo
4. Elemento opuesto: Para cualquier número entero, racional, real o complejo a, existe un número −a tal que a + (−a) = (−a) + a = 0. Este número −a se denomina elemento opuesto, y es único para cada a. No existe en algunos conjuntos, como el de los números naturales.▼
! Explicación
5. Propiedad distributiva:La suma de dos números multiplicada por un tércer número es igual a la suma de cada sumando multiplicado por el tercer número. Por ejemplo 4 * (6+3) = 4*6 + 4*3▼
|-
| Conmutativa
| a+b=b+a
▲| 1. Propiedad conmutativa: siSi se altera el orden de los sumandos no cambia el resultado, de esta forma, a+b=b+a.
|-
| Asociativa
| a+(b+c)=c+(b+a)
|
|-
| Elemento neutro
| a+0=0+a=a
|
|-
| Elemento opuesto
| a+(-a)=(-a)+a=0
▲ 4. Elemento opuesto:| Para cualquier número entero, racional, real o complejo a, existe un número −a tal-a que ahace +que (−a)el =resultado (−a)sea +igual a = 0zero. Este número −a-a se denomina '''elemento opuesto,''' y es único para cada a. No existe en algunos conjuntos, comocómo el de los números naturales.
|-
| Distributiva
| a(b+c)(a*b)+(a*c)
▲| 5. Propiedad distributiva:La suma de dos números multiplicada por un tércertercer número es igual a la suma de cada sumando multiplicado por el tercer número. Por ejemplo 4 * (6+3) = 4*6 + 4*3
|}
 
Estas propiedades pueden no cumplirse en casos del límite de sumas parciales cuando tienden al infinito.
 
==Resta==
 
La resta o sustracción es una de las cuatro operaciones básicas de la aritmética, y se trata básicamente de la operación inversa a la suma. Por ejemplo, si a+b=c, entonces c-b=a.
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Lo que implica la ampliación del conjunto de los números naturales con un nuevo concepto de número, el conjunto de los números enteros, que incluye a los naturales.
 
==Multiplicación==
 
La multiplicación es una operación aritmética. Multiplicar dos cantidades consiste en sumar reiteradamente la primera, tantas veces como indica la segunda. Así, 4 × 3 = 4 + 4 + 4. La multiplicación está asociada al concepto de área geométrica.
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En Álgebra Moderna se suele usar la denominación producto o multiplicación con su notación habitual "·" para designar la operación externa en un módulo, para designar también la segunda operación que se define en un anillo (aquella para la que no está definido el elemento inverso del 0), o para designar la operación que dota a un conjunto de estructura de grupo.
 
==División (matemática)==
 
La división es una operación aritmética que consiste en averiguar cuántas veces un número (el divisor) está contenido en otro número (el dividendo). La división es una operación matemática, específicamente, de aritmética elemental, inversa de la multiplicación y puede considerarse también como una resta repetida.
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dividendo = cociente × divisor + resto
 
==Potenciación==
 
La potenciación es una multiplicación de varios factores iguales, al igual que la multiplicación es una suma de varios sumandos iguales, (la potenciación se considera una multiplicación abreviada).
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Normalmente, las potencias con base 10, por la cantidad que represente el exponente,esa será la cantidad de ceros en el resultado. El resto de la bases, para sacar el resultado el número se multiplica por sí mismo cuantas veces indique el exponente.
 
==Función raíz==
 
Sea n un número natural no nulo. La función (potenciación) x → x^n define una biyección de <math>\mathbb{R}</math> hacia <math>\mathbb{R}</math> si ''n'' es impar, y hacia <math>\mathbb{R}^+ = [0,\infty)</math> si ''n'' es par.
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En él, se han dibujado las curvas de algunas raíces, así como de sus funciones recíprocas, en el intervalo [0;1]. La diagonal de ecuación y = x es eje de simetría entre cada curva y la curva de su recíproca.
 
==Logaritmo==
 
En matemática, el logaritmo es el exponente (o potencia) a la que un número fijo, llamado base, se ha de elevar para obtener un número dado.
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Se denomina logaritmo neperiano o logaritmo natural (ln) al logaritmo en base e de un número.
 
==Teoría de números==
 
La teoría de números es la rama de matemáticas puras que estudia las propiedades de los números en general y de los enteros en particular, así como diversos problemas derivados de su estudio. Contiene una cantidad considerable de problemas que podrían ser comprendidos por "no matemáticos". De forma más general, este campo estudia los problemas que surgen con el estudio de los enteros. Tal como cita Jürgen Neukirch:
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El término "aritmética" también era utilizado para referirse a la teoría de números. Este es un término bastante antiguo, aunque ya no tan popular como en el pasado. De allí la teoría de números suele ser denominada alta aritmética,[3] aunque el término también ha caído en desuso. Este sentido del término aritmética no debe ser confundido con la aritmética elemental, o con la rama de la lógica que estudia la aritmética de Peano como un sistema formal. Los matemáticos que estudian la teoría de números son llamados teóricos de números.
 
===Campos===
Según los métodos empleados y las preguntas que se intentan contestar, la teoría de números se subdivide en diversas ramas.
Teoría elemental de número
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* Hipótesis de Riemann sobre la distribución de los ceros de la función zeta de Riemann, íntimamente conectada con el problema de la distribución de los números primos.
 
===Teoría analítica de números===
La teoría analítica de números emplea como herramientas el cálculo y el análisis complejo para abordar preguntas acerca de los números enteros. Algunos ejemplos de esta son el teorema de los números primos y la hipótesis de Riemann. El problema de Waring, la conjetura de los números primos gemelos y la conjetura de Goldbach también están siendo atacados a través de métodos analíticos.
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