Diferencia entre revisiones de «Campo eléctrico»
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Línea 1:
= Introducción: fuerza y carga eléctrica =
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<math>k \sum\limits_{i = 1} ^{n} \frac{Q_i(\vec r_P - \vec r_i)}{\vert \vec r_P - \vec r_i \vert^3}</math>
= Campo eléctrico y distribución espacial de la carga =
Según cómo se distribuya la carga en el espacio, podemos encontrar diferentes expresiones de campo eléctrico.
== Distribución a lo largo de una línea de grosor despreciable ==
Se define la densidad linear de carga Q distribuida unofmrmemente en una línea de grosor despreciable como:
<math>\lambda = \frac{dQ}{dL}</math>
Pudiéndose encontrar en ocasiones como:
<math>\lambda = \frac{Q}{L}</math>
== Distribución a lo largo de una superficie de grosor despreciable ==
Se define la densidad superficial de caga Q distribuida uniformemente en una superficie S de grosor despreciable como:
<math>\sigma= \frac{dQ}{dS}</math>
Pudiéndose encontrar en ocasiones como:
<math>\sigma = \frac{Q}{S}</math>
== Distribución a lo largo de un volumen ==
Se define la densidad volumétrica de carga Q distribuida uniformemente en un volumen V como:
<math>\rho = \frac{dQ}{dV}</math>
Pudiéndose encontrar en ocasiones como:
<math>\rho = \frac{Q}{V}</math>
== Campo eléctrico producido por una distribución unforme de carga en una volumen ==
A partir de las expresiones anteriores, podemos calcular el campo que produce una carga Q distribuida uniformemente en un volumen V.
Si hemos definido <math>\rho</math> como:
<math>\rho = \frac{dQ}{dV}</math>
Expresamos Q en función de <math>\rho</math> como:
<math> dQ = \rho dV</math>
<math> Q = \int \limits_V \rho dV</math>
Con lo cual el campo eléctrico <math>\vec E_P</math> en un punto dado por el vector <math>\vec r_P</math> queda definido como:
<math>\vec E_P = k \int \limits_V \frac{\rho dV}{\vert \vec r_P - \vec r_\rho \vert^2} (\vec r_P - \vec r_\rho) </math>
Desarrollamos la expresión:
<math>k \int \limits_V \frac{\rho dV}{\vert \vec r_P - \vec r_\rho \vert^2} (\vec r_P - \vec r_\rho) = k \int \limits_V \frac{\rho}{\vert \vec r_P - \vec r_\rho \vert^3} \vec r_P dV - k \int \limits_V \frac{\rho}{\vert \vec r_P - \vec r_\rho \vert^3} \vec r_ \rho dV </math>
Y puesto que:
<math>k \int \limits_V \frac{\rho}{\vert \vec r_P - \vec r_\rho \vert^3} \vec r_ \rho dV </math>
Representa un vector nulo <math> \int \limits_V \vec r_{P} dV</math>, no afecta a la expresión de campo:
<math>\vec E_P = - k \int \limits_V \frac{\rho}{\vert \vec r_P - \vec r_\rho \vert^3} \vec r_ \rho dV </math>
= Flujo eléctrico =
El flujo eléctrico <math>\phi</math> es la cantidad de campo eléctrico E que incide en una superficie S con un área A.
Su expresión más general se escribe como:
<math>\phi = E A cos \theta = \vec E o \vec A </math>
Y se expresa en <math>\frac{Nm^2}{C}</math>, lo que equivale a un Voltio por metro <math>V m</math>
== Expresión general de flujo eléctrico a través de cualquier superficie ==
Dado que en una superficie irregular el flujo varía tanto en intensidad como en el vector que forma con la normal de la superficie, definimos:
<math>d \phi = E dA cos \theta = \vec E o d \vec A </math>
Si integramos:
<math>\phi = \int_S \vec E o d \vec A </math>
Ahora consideremos el caso del flujo eléctrico <math>\phi_C</math> de una superficie cerrada. Si utilizamos el símbolo <math>\oint</math> para referirnos a la integral de una superficie cerrada, la expresión de flujo eléctrico que atraviesa esa superficie queda determinada por:
<math>\phi_C = \oint_S \vec E o d \vec A= \oint_S E_n o d \vec A </math>
Siendo <math>E_n</math> una componente normal (<math>\approx</math> perpendicular) a la superficie cerrada.
= Ley de Gauss =
Si en una superficie cerrada sin carga el flujo total que la atraviesa es nulo, la ley de Gauss establece la relación que existe entre el flujo eléctrico neto que atraviesa una supercie con una carga neta <math>Q_{int}</math> en su interior.
== Definición ==
<math>\Phi_C = \oint \vec E o d \vec A = \frac{Q_{int}}{\epsilon_0}</math>
Siendo <math>\vec E</math> el campo eléctrico creado por <math>Q_int</math> y el resto de campos que atraviesan la supercicie. Se puede utilizar en sentido inverso para calcular el campo eléctrico que crea una distribución cualquiera de cargas; aunque, por comodidad, sólo suele hacerse en casos elementales.
== Demostración ==
Se parte de una esfera hueca de radio <math>r</math> y espesor despreciable con una carga puntual <math>Q_int</math> situada en su centro. Según la [[ley de Coulomb]], el campo eléctrico en cualquier punto de la superficie es:
<math>E = k \frac {q}{r^2}</math>
El flujo neto que atraviesa la esfera es el siguiente:
<math>\Phi_C = \oint E_n d \vec A = E \oint d \vec A = \frac{kq}{r^2}</math>
Si sustituimos la expresión de campo eléctrico y consideramos que el radio de una esfera es <math>4 \pi r^2</math> obtenemos:
<math>\Phi_C = \frac{kq}{r^2} (4 \pi r^2) = 4 \pi k q(</math>
Y si consideramos el valor de la constante k (<math>k = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}</math>):
<math>\Phi_C = \frac{q}{\epsilon_0}</math>
== Aplicaciones ==
=== Esfera uniformemente cargada ===
Para una esfera de radio R con una carga Q distribuida, calculamos el campo eléctrico en cualquier punto exterior situado a una distancia r del centro: siendo r > R.
<math>\phi_C = \frac{Q}{\epsilon_0} = EA \iff e= \frac{Q}{\epsilon_0 4 \pi r^2} = k \frac{Q}{r^2} </math>
Es decir, equivale al campo eléctrico que produce una carga puntual Q en el centro de la esfera.
Ahora calcularemos el campo eléctrico en cualquier punto interior situado a una distancia r del centro: siendo r < R.
<math>\phi_C = \frac{Q_int}{\epsilon_0} = E 4 \pi r^2</math>
<math>Q_int = \rho \frac{4}{3} \pi r^3 \rightarrow \rho = \frac{Q}{V} = \frac{Q}{\frac{4}{3} \pi R^3} \rightarrow Q_int = Q {r^3}{R^3} </math>
Sustituyendo en la expresión anterior obtenemos:
<math>E = k \frac{Q}{R^3}r</math>
En este caso, la expresión del campo en interior de la esfera es menor que en el exterior. Si aplicamos un cociente de
radios <math>\frac{r}{R}</math> a la expresión de campo obtenida para cualquier punto exterior a la esfera,llegamos a la misma conclusión.
=== Conductores en equilibrio electrostático ===
Si consideramos un conductor en equilibrio electrostático (las cargas negativas igualan a las positivas) sometido a un campo eléctrico, y aplicamos la ley de Gauss:
<math>\Phi_C = \oint \vec E o d \vec A = \frac{Q_{int}}{\epsilon_0}</math>
<math>\Phi_C = E \oint d \vec A = \frac{Q_{int}}{\epsilon_0}</math>
En la superficie (<math>S = \int d \vec A</math>) donde incide el campo <math>\vec E</math>:
<math>\sigma = \frac{Q}{S} = \epsilon_0(-E)</math>
En la superficie (<math>S = \int d \vec A</math>) donde sale el campo<math>\vec E</math>:
<math>\sigma = \frac{Q}{S} = \epsilon_0(E)</math>
Con lo que las cargas positivas y negativas tienden a distribuirse en polos opuestos
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