Diferencia entre revisiones de «Física Biológica PCLF/Nociones de estructura química de enlaces/ORBITALES HIBRIDOS SP3 DEL ÁTOMO DE CARBONO»
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Nueva página: == '''ORBITALES HIBRIDOS <math>SP^3</math> DEL ÁTOMO DE CARBONO''' == El Carbono es un elemento crucial para la existencia de los organismos vivos. Su número atómico es 6 y pert... |
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Del análisis pertinente de las anteriores gráficas se concluye que en el carbono es mucho más probable encontrar sus electrones en un radio superior al radio de Bohr (línea punteada).
== '''CALCULO DE LA HIBRIDACION <math>SP^3</math> DEL CARBON''' ==
Para el àtomo de hidrogeno tenemso que sus orbitales son los dados en el conjunto de ecuaciones referentes <math>\phi</math>, para estos niveles tenemos como ya se habia mancionado que <math>\Delta E = |2S - 2P|</math> con <math>\Delta E \approx 0</math> puesto que los niveles de energìa son bastante cercanos.Para la hibridaciòn <math>$SP^3$ </math> tenemos que
<math>\psi_i(2SP^3) = \sum_j a_{ij}\phi_j</math>
Con <math>j,i = 1,2,3,4</math> teniendo encuenta las condiciones impuestas por las ecuaciòn <math>\int \psi_i\psi_j</math> analizada anteriormente y aplicando los orbitales del atomo de hidrogenoide tenemos
<math>\int \psi_m \psi_l d^3x = \delta _{lm}</math>
Ahora bien, basandonos en el hecho que las funciones de onda sean ortogonales encontramos que
<math>\int \psi_k \psi_j dr= \int(\sum_{m=1}^4a_{km}\phi_m)(\sum_{i=1}^4a_{ji}\phi_i)</math>
<math>\int \psi_k \psi_j dr = a_{k1}a_{j1}\int \phi_1\phi_1^*dx^3 + a_{k2}a_{j2}\int \phi_2\phi_2^*dx^3 + a_{k3}a_{j3}\int \phi_3\phi_3^*dx^3 + a_{k4}a_{j4}\int \phi_4\phi_4^*dx^3</math>
Donde si <math>a_{km}</math> y <math>a_{ji} \epsilon R</math>, se puede garantizar que la probabilidad esta normalizada
<math>\sum_{i=1}^4a_{ki}a_{ji}=\delta_{kj}</math>
pero la funciòn <math>\delta_{kj}</math> cumple con las condiciones que es nula si <math>k \neq j</math>y es identicamente uno si <math>k = j</math>.
Se puede evidenciar tras un riguroso an\'alisis que los coeficientes <math>a</math> toman unos valores determinados segun la ecuaci\'on de onda a la que esten sometidas, encontrando el siguiente comportamiento.
Entonces, para encontrar la direcciòn de máximo privilegio analizaremos la distribución de probabilidades <math>| \psi_1^2|</math> y <math>|\psi_2^2|</math> que dependen de <math>$\theta$</math> y <math>$\phi$</math>, derivaremos las 2 con respecto a <math>\theta</math>y <math>$\phi$</math> así encontraremos el valor de y para el cual se da el máximo de probabilidad de enlace (Hibridación $SP^3$), que es donde ambas tienen el máximo.
Asumiendo las constantes de la ecuación (45) aproximadamente iguales se tiene que
<math>\psi_1 = C [e-^\rho(1-\rho) + e-^\rho\rho \cos(\theta) + e-^\rho\rho \sin(\theta)\cos(\phi) + e-^\rho \rho \sin(\theta)\sin(\phi)]</math>
encontrando que
<math>|\psi_1|^2 = A^2[\cos{\theta} + \sin(\theta)\sin(\phi) + \sin(\theta)\cos(\phi)]^2</math>
Donde en <math>A^2</math> están las constante y la dependencia de <math>\rho</math> la cual no nos importa puesto que nuestro punto de interés es la dirección de máxima probabilidad.
Análogamente con <math>\psi_2</math> se tiene
<math>|\psi_1|^2 = B^2[-\cos{\theta} + \sin(\theta)\sin(\phi) + \sin(\theta)\cos(\phi)]^2</math>
luego
<math>|\psi_1 o \psi_2| = C_1^2[1 \pm \sin(2\theta)[\sin(\phi) + \cos(\phi)] +\cos{\theta}^2\sin{2\phi}]</math>
derivando encontramos las siguientes dos expresiones con las que se podra definir <math>\theta</math> y <math>\phi</math>
<math>\frac{\partial |\psi_1 o \psi_2|}{\partial \theta} = \pm \cos(2\theta)[\sin(\phi) + \cos(\phi)] +\sin{2\theta}\sin{2\phi} = 0</math>
<math>\frac{\partial |\psi_1 o \psi_2|}{\partial \phi} = \pm \sin(2\theta)[\cos(\phi) - \sin(\phi)] + [1 - \cos{2\theta}]\cos{\phi} = 0</math>
Finalmente estas dos expresiones dan los valores de <math>\theta</math> y <math>\phi</math>
<math>\phi = \frac{\pi}{2}</math>
<math>\tan{2\theta} = \pm 2\sqrt{2}</math> lo que conduce a decir que <math>\theta=54.65</math>
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