Diferencia entre revisiones de «Campo eléctrico»
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Línea 9:
Dado un sistema de coordenadas donde <math>r_1</math> es el vector de posición absoluto de la carga <math>Q_1</math>, y <math>r_2</math> el vector de posición absoluto de la carga <math>Q_2</math>, podemos expresar la fuerza de forma vectorial:
<math>\vec F = k \; \frac {Q_1 Q_2}{d^2} \; \vec u_{Q_1 - Q_2}</math>
<math>\vec u_{Q_1 - Q_2}</math> es un vector unitario que pasa por las cargas <math>Q_1</math> y <math>Q_2</math> en el sentido indicado por la [[ley de Coulomb]], pero teniendo en cuenta el [[principio de acción y reacción de Newton]].
Línea 15:
Para calcular directamente las fuerzas que actúan sobre cada partícula:
<math>\vec F_A = k \; \frac {Q_1 Q_2}{\vert \vec r_1 - \vec r_2 \vert^3}\;(\vec r_1 - \vec r_2)</math>
<math>\vec F_B = k \; \frac {Q_1 Q_2}{\vert \vec r_1 - \vec r_2 \vert^3}\;(\vec r_2 - \vec r_1)</math>
= Definición de campo eléctrico =
Línea 94:
Expresamos Q en función de <math>\rho</math> como:
<math> dQ = \rho \; dV</math>
<math> Q = \int \limits_V \rho \; dV</math>
Con lo cual el campo eléctrico <math>\vec E_P</math> en un punto dado por el vector <math>\vec r_P</math> queda definido como:
<math>\vec E_P = k \int \limits_V \frac{\rho \; dV}{\vert \vec r_P - \vec r_\rho \vert^2}\; (\vec r_P - \vec r_\rho) </math>
Desarrollamos la expresión:
<math>k \int \limits_V \frac{\rho \; dV}{\vert \vec r_P - \vec r_\rho \vert^2} \; (\vec r_P - \vec r_\rho) = k \int \limits_V \frac{\rho}{\vert \vec r_P - \vec r_\rho \vert^3} \; \vec r_P \; dV - k \int \limits_V \frac{\rho}{\vert \vec r_P - \vec r_\rho \vert^3} \; \vec r_ \rho \; dV </math>
Y puesto que:
<math>k \int \limits_V \frac{\rho}{\vert \vec r_P - \vec r_\rho \vert^3} \; \vec r_ \rho \; dV </math>
Representa un vector nulo <math> \int \limits_V \vec r_{P} \; dV</math>, no afecta a la expresión de campo:
<math>\vec E_P = - k \int \limits_V \frac{\rho}{\vert \vec r_P - \vec r_\rho \vert^3} \; \vec r_ \rho \; dV </math>
== Líneas de campo eléctrico ==
Línea 162:
Se parte de una esfera hueca de radio <math>r</math> y espesor despreciable con una carga puntual <math>Q_{int}</math> situada en su centro. Según la [[ley de Coulomb]], el campo eléctrico en cualquier punto de la superficie es:
<math>E = k \; \frac {q}{r^2}</math>
El flujo neto que atraviesa la esfera es el siguiente:
<math>\Phi_C = \oint E_n \; d \vec A = E \oint d \vec A = \frac{kq}{r^2}</math>
Si sustituimos la expresión de campo eléctrico y consideramos que la superficie de una esfera es <math>4 \pi r^2</math> obtenemos:
Línea 172:
<math>\Phi_C = \frac{kq}{r^2} (4 \pi r^2) = 4 \pi k q</math>
Y si consideramos el valor de la constante k \;(<math>k = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}</math>):
<math>\Phi_C = \frac{q}{\epsilon_0}</math>
Línea 205:
Para una esfera de radio R con una carga Q distribuida, calculamos el campo eléctrico en cualquier punto exterior situado a una distancia r del centro: siendo r > R.
<math>\Phi_C = \frac{Q}{\epsilon_0} =
Es decir, equivale al campo eléctrico que produce una '''carga puntual Q en el centro de la esfera'''.
Línea 211:
Ahora calcularemos el campo eléctrico en cualquier punto interior situado a una distancia r del centro: siendo r < R.
<math>\Phi_C = \frac{Q_{int}}{\epsilon_0} = E\; 4 \pi r^2</math>
<math>Q_{int} = \rho \; \frac{4}{3} \pi r^3 \Longrightarrow \rho = \frac{Q}{V} = \frac{Q}{\frac{4}{3} \pi R^3} \Longrightarrow Q_{int} = Q \; \frac{r^3}{R^3} </math>
Sustituyendo en la expresión anterior obtenemos:
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