Diferencia entre revisiones de «Casos Particulares del MAS y Energía»

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Los péndulos son un caso particular del movimiento armónico simple, por ejemplo el '''péndulo simple''' y el '''péndulo compuesto'''. El '''péndulo simple''' consiste en una masa puntual suspendida de un cordón con masa despreciable y no deformable en cuanto a su longitud, con longitud característica <math> L </math>. Si la masa es desplazada un ángulo <math> \theta </math>, donde el cordón que la sujeta está fijo a un nodo, sobre la masa actúan dos fuerzas, una que es la tensión de la cuerda sobre la masa <math> \vec{T} </math> y el peso <math> \vec{W} = m\;\vec{g} </math>, el peso puede ser descompuesto en dos componentes. Para efectos prácticos consideramos la componente tangencial del peso <math> m\; g\; sen(\theta) </math>, por lo que la ecuación de movimiento es
 
<math> F_x = -m\;, g\;, sen(\theta) = m\;, {d^2x \over dt^2} </math>,
 
y considerando la longitud de arco de una circunferencia <math> S = r\;, \theta </math> y tomando <math> r = L </math> es constante, con lo que la ecuación anterior se reduce a
 
<math> {d^2 \theta \over dt^2} = -{g \over L}\;, sen(\theta) </math>.
 
Para ángulos pequeños <math> sen(\theta) \approx \theta </math>, y esto es debido a que se busca obtener una ecuación diferencial similar a la del movimiento armónico simple.
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y el periodo del movimiento es
 
<math> T = {2\;, \pi \over \omega} = 2\;, \pi\;, \sqrt{L \over g} </math>.
 
De acuerdo a estas dos expresiones, la frecuencia angular y el periodo de movimiento tienen una dependencia de la longitud de la cuerda y la aceleración gravitatoria. Además el periodo es independiente de la masa, por lo que cualquier péndulo simple que tenga la misma longitud característica y se encuentren en locaciones similares (recuerde que el planeta tierra no es un cuerpo con simetría esférica, este tiene forma de geoide, por lo que la aceleración gravitatoria es diferente en lugares distintos de la superficie terrestre), oscilarán con el mismo periodo.
 
El '''péndulo físico''' consiste en un cuerpo de tamaño finito, el cual oscila en torno a un eje fijo que no pasa por su centro de masa. Si el objeto se mueve un ángulo <math> \theta </math> , el peso genera un torque de restitución. Considerando una distancia <math> d </math>
 
<math>\tau= -mgdm\sin, g\, d\, sen(\theta) = I\alpha, {d^2\theta \over dt^2} </math>
 
<math> {d^2 \theta \over dt^2} = -\left({mgdm\, g\, d \over I}\right)\, \theta </math>
<math>d</math>es la distancia del eje de giro al centro de masa.
 
<math>w^2 \omega = \sqrt{mgdm\, g\, d \over I} </math>.
Al hacer la aproximación <math>\sin\theta\approx \theta</math> se obtiene
 
El periodo es
<math>{d^2 \theta \over dt^2}=-{mgd \over I}\theta</math>
 
<math> T = {2\, \pi \over \omega} = 2\, \pi\, \sqrt{I \over m\, g\, d} </math>.
Al compararla con la ecuación general del MAS
 
<math>w^2={mgd \over I} </math>
 
== Superposición de movimientos armónicos simples ==