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<head><title>Resistencia de materiales</title>
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</head><body
>
<div class="maketitle">
<h2 class="titleHead">Resistencia de materiales</h2>
<div class="author" ><span
class="ec-lmr-12">Jorge Benavides Mac</span><span
class="ec-lmr-12">ías</span></div><br />
<div class="date" ><span
class="ec-lmr-12">22</span><span
class="ec-lmr-12"> de octubre</span><span
class="ec-lmr-12"> de</span><span
class="ec-lmr-12"> 2019</span></div>
</div>
<h3 class="likesectionHead"><a
id="x1-1000"></a>Índice</h3>
<div class="tableofcontents">
<span class="sectionToc" >1 <a
href="#x1-20001" id="QQ2-1-2">Introducción a la elasticidad y a la resistencia de materiales</a></span>
<br /> <span class="subsectionToc" >1.1 <a
href="#x1-30001.1" id="QQ2-1-3">Teoría del corte</a></span>
<br />  <span class="subsubsectionToc" >1.1.1 <a
href="#x1-40001.1.1" id="QQ2-1-4">¿De dónde surgen las fuerzas y los momentos internos que actúan en una sección?</a></span>
<br /> <span class="subsectionToc" >1.2 <a
href="#x1-50001.2" id="QQ2-1-5">Tensión mecánica</a></span>
<br />  <span class="subsubsectionToc" >1.2.1 <a
href="#x1-60001.2.1" id="QQ2-1-6">Definición matemática de la tensión en un punto</a></span>
<br /> <span class="subsectionToc" >1.3 <a
href="#x1-70001.3" id="QQ2-1-7">Deformación</a></span>
<br /> <span class="subsectionToc" >1.4 <a
href="#x1-80001.4" id="QQ2-1-8">Equilibro estático vs. equilibrio elástico</a></span>
<br /> <span class="subsectionToc" >1.5 <a
href="#x1-90001.5" id="QQ2-1-9">Estudio de un dominio</a></span>
<br />  <span class="subsubsectionToc" >1.5.1 <a
href="#x1-100001.5.1" id="QQ2-1-10">Hipótesis de <span
class="ec-lmri-10">constituci</span><span
class="ec-lmri-10">ón</span></a></span>
<br />  <span class="subsubsectionToc" >1.5.2 <a
href="#x1-110001.5.2" id="QQ2-1-11">Hipótesis de <span
class="ec-lmri-10">comportamiento</span></a></span>
<br />  <span class="subsubsectionToc" >1.5.3 <a
href="#x1-120001.5.3" id="QQ2-1-12">Principio de <span
class="ec-lmri-10">superposici</span><span
class="ec-lmri-10">ón</span></a></span>
<br /><span class="sectionToc" >2 <a
href="#x1-130002" id="QQ2-1-13">El tensor de tensiones (TT)</a></span>
<br /> <span class="subsectionToc" >2.1 <a
href="#x1-140002.1" id="QQ2-1-14">Otras notaciones</a></span>
<br />  <span class="subsubsectionToc" >2.1.1 <a
href="#x1-150002.1.1" id="QQ2-1-15">Notación sigma (<span
class="lmmi-10">σ</span>)</a></span>
<br />  <span class="subsubsectionToc" >2.1.2 <a
href="#x1-160002.1.2" id="QQ2-1-16">Notación sigma (<span
class="lmmi-10">σ</span>) y tau (<span
class="lmmi-10">τ</span>)</a></span>
<br /> <span class="subsectionToc" >2.2 <a
href="#x1-170002.2" id="QQ2-1-17">El vector tensión: Componentes intrínsecas</a></span>
<br /> <span class="subsectionToc" >2.3 <a
href="#x1-180002.3" id="QQ2-1-18">Equilibrio interno</a></span>
<br /><span class="sectionToc" >3 <a
href="#x1-190003" id="QQ2-1-19">Preguntas/dudas</a></span>
</div>
<!--l. 47--><p class="noindent" >
<h3 class="sectionHead"><span class="titlemark">1. </span> <a
id="x1-20001"></a>Introducción a la elasticidad y a la resistencia de materiales</h3>
<!--l. 51--><p class="noindent" >En el análisis elástico, elasticidad, tenemos un <span
class="ec-lmbxi-10">patatoide </span>(domino o cuerpo sobre el que se hace el análisis), este <span
class="ec-lmbxi-10">patatoide</span>
estás sometido a cierto tipo de acciones, ya sean superficiales o volumétricas, que producen un desplazamiento o son
contrarias a un desplazamiento que el objeto tenía desde el principio.
<!--l. 59--><p class="noindent" ><span
class="ec-lmbxi-10">Definiciones</span>
<ul class="itemize1">
<li class="itemize"><span
class="ec-lmri-10">Dominio: </span>Es un sólido con una forma <span
class="lmmi-10">x </span>genérica, que tiene que ser <span
class="ec-lmri-10">resistente </span>a una serie de acciones (todo
aquello que ataque el dominio)
</li>
<li class="itemize"><span
class="ec-lmri-10">Fuerzas</span>
<ul class="itemize2">
<li class="itemize"><span
class="ec-lmbx-10">Puntuales: </span>Un ejemplo sería el dedo sobre la mesa ya que comparado con el tamaño de la mesa es un
punto en la superficie un diferencial.
</li>
<li class="itemize"><span
class="ec-lmbx-10">Superficiales: </span>Cuando estamos sentados sobre la silla, nuestro cuerpo ejerce una fuerza superficial sobre
la madera.
</li>
<li class="itemize"><span
class="ec-lmbx-10">Volumen: </span>La gravedad es una fuerza volumétrica ya que atrae a los cuerpos hacia el centro de la tierra,
la fuerza electromagnética también <span
class="ec-lmbx-10">podr</span><span
class="ec-lmbx-10">ía ser </span>considerada una fuerza volumétrica (<span
class="ec-lmri-10">depende del campo</span>
<span
class="ec-lmri-10">que genere la fuerza</span>).</li></ul>
</li></ul>
<div class="center"
>
<!--l. 77--><p class="noindent" >
<!--l. 78--><p class="noindent" ><span
class="ec-lmbx-10">Objetivo</span>
</div>
<div class="center"
>
<!--l. 81--><p class="noindent" >
<!--l. 82--><p class="noindent" ><span
class="ec-lmri-10">Garantizar que el dominio soporta las acciones </span><span
class="ec-lmbxi-10">en unas condiciones concretas, </span><span
class="ec-lmri-10">realizando modelos</span>
<span
class="ec-lmri-10">simplificados de c</span><span
class="ec-lmri-10">álculo (relaciones de causa-efecto)</span>
</div>
<!--l. 87--><p class="noindent" >Debemos realizar este tipo de estudios considerando hipótesis de comportamiento, ejemplo:
<ul class="itemize1">
<li class="itemize">Modelo rígido <span
class="lmsy-10">→ </span>no se deforma
</li>
<li class="itemize">Modelo elástico <span
class="lmsy-10">→ </span>se deforma y se recupera
</li>
<li class="itemize"><img
src="ResMat0x.png" alt="..
." class="vdots" >
</li>
<li class="itemize">Modelo plástico <span
class="lmsy-10">→</span>se deforma y no se recupera</li></ul>
<!--l. 96--><p class="noindent" >
<h4 class="subsectionHead"><span class="titlemark">1.1. </span> <a
id="x1-30001.1"></a>Teoría del corte</h4>
<!--l. 98--><p class="noindent" >Supongamos que tenemos <span
class="ec-lmbxi-10">tiza </span>horizontal en el plano <span
class="lmmi-10">xy</span>, y realizamos un corte <span
class="ec-lmri-10">imaginario </span>en el punto medio con el plano
<span
class="lmmi-10">x </span><span
class="rm-lmr-10">= </span><span
class="lmmi-10">n</span>, obtenemos algo similar a esto
<div class="center"
>
<!--l. 101--><p class="noindent" >
<!--l. 102--><p class="noindent" ><img
src="ResMat1x.png" alt="PIC" class="graphics"><!--tex4ht:graphics
name="ResMat1x.png" src="0C__Users_jorge_OneDrive_-_Universidad_de_M__laga_1_Universidad_Apuntes_teor__a_del_corte.png"
-->
</div>
<!--l. 105--><p class="noindent" >Aplicando algo de lógica podemos deducir las fuerzas y momentos resultantes, la <span
class="ec-lmbx-10">tiza </span>estaba en equilibrio <span
class="ec-lmri-10">din</span><span
class="ec-lmri-10">ámico, </span>esto
quiere decir que no se movía ni hacia arriba, ni hacia abajo ni en ningún sentido, como resultado el punto
medio cumplía la ecuación <span
class="lmex-10">∑</span>
<sub><span
class="lmmi-7">i</span></sub><img
src="ResMat2x.png" alt="⃗F" class="vec" ><sub><span
class="lmmi-7">i</span></sub> <span
class="rm-lmr-10">= 0 </span>es decir que la fuerza que unía al punto medio con su diferencial del
punto medio en el otro extremo tenía una fuerza de igual magnitud y opuesta; no obstante esta ecuación
es condición necesaria pero no suficiente para generar el equilibrio, también debe cumplir la ecuación de
equilibro <span
class="ec-lmri-10">rotacional</span> <span
class="lmex-10">∑</span>
<sub><span
class="lmmi-7">i</span></sub><img
src="ResMat3x.png" alt="M⃗" class="vec" ><sub><span
class="lmmi-7">i</span></sub> <span
class="rm-lmr-10">= 0</span>, las fuerzas generan un momento pero esto son anulados porque las fuerzas son
inversas.
<!--l. 118--><p class="noindent" >
<h5 class="subsubsectionHead"><span class="titlemark">1.1.1. </span> <a
id="x1-40001.1.1"></a>¿De dónde surgen las fuerzas y los momentos internos que actúan en una sección?</h5>
<!--l. 120--><p class="noindent" >El material sólido del que está fabricado un elemento mecánico es continuo, de forma que la acción de las cargas externas se
transmite de punto a punto del elemento. Cuando se divide el elemento por un plano se rompe esta continuidad <span
class="ec-lmri-10">en cada</span>
<span
class="ec-lmri-10">punto </span>de las sección de corte. En consecuencia, en cada punto <span
class="ec-lmri-10">P </span>aparece una fuerza interna igual y contraria a cada lado del
plano del corte.
<!--l. 129--><p class="noindent" >La fuerza interna que actúa sobre cada punto <span
class="ec-lmri-10">P </span>de una sección imaginaria de un sólido se conoce como <span
class="ec-lmri-10">tensi</span><span
class="ec-lmri-10">ón </span>o <span
class="ec-lmri-10">esfuerzo</span>
en el punto.
<!--l. 136--><p class="noindent" >
<h4 class="subsectionHead"><span class="titlemark">1.2. </span> <a
id="x1-50001.2"></a><a
href="https://es.wikipedia.org/wiki/Tensi%C3%B3n_mec%C3%A1nica#Principio_de_Cauchy" >Tensión mecánica</a></h4>
<!--l. 138--><p class="noindent" >Es la magnitud física que representa la fuerza por unidad de área en el entorno de un punto material sobre una superficie
real o imaginaria de un <span
class="ec-lmbx-10">medio continuo.</span>
<!--l. 142--><p class="noindent" >
<h5 class="subsubsectionHead"><span class="titlemark">1.2.1. </span> <a
id="x1-60001.2.1"></a>Definición matemática de la tensión en un punto</h5>
<!--l. 144--><p class="noindent" >Supongamos que cortamos un elemento cargado por el plano <span
class="lmmi-10">π </span>(identificado por un vector normal, <img
src="ResMat4x.png" alt="⃗n" class="vec" >). En la parte
<span
class="lmmi-10">E</span><sub><span
class="rm-lmr-7">1</span></sub>estudiaremos la superficie del corte, que se ha dividido en parcelas pequeñas. Vamos a fijarnos en una de ellas, <span
class="lmmi-10">S</span><sub><span
class="lmmi-7">p</span></sub>, cuyo
centro de presiones es el punto <span
class="lmmi-10">P</span>. La fuerza interna resultante, es <img
src="ResMat5x.png" alt="⃗Fp" class="vec" >, sobre la parcela será la suma de las tensiones o
fuerzas internas existentes en cada uno de los puntos.
<div class="center"
>
<!--l. 151--><p class="noindent" >
<!--l. 152--><p class="noindent" ><img
src="ResMat6x.png" alt="PIC" class="graphics"><!--tex4ht:graphics
name="ResMat6x.png" src="1C__Users_jorge_OneDrive_-_Universidad_de_M__la___iversidad_Apuntes_diagrama-fuerzas-internas.png"
-->
</div>
<!--l. 155--><p class="noindent" >Si hacemos el cociente entre la fuerza existente y el área de la parcela, al ser esta muy pequeña obtenemos un parámetro
que nos dará una idea del nivel de tensión que están soportando sus puntos:
<center class="par-math-display" >
<img
src="ResMat7x.png" alt=" ⃗F
⃗fp = -p-
Sp
" class="par-math-display" ></center>
<!--l. 161--><p class="nopar" >
<!--l. 163--><p class="noindent" >Si hacemos más pequeña la parcela entorno al punto <span
class="lmmi-10">P</span>, el valor de la fuerza resultante irá variando, tendiendo hacia el valor
que realmente hay en el punto <span
class="ec-lmri-10">P:</span>
<center class="par-math-display" >
<img
src="ResMat8x.png" alt=" F⃗p
⃗σ = Sl´ipm→0S--= T
p
" class="par-math-display" ></center>
<!--l. 169--><p class="nopar" >
<!--l. 171--><p class="noindent" >Ese valor límite es denominado <span
class="ec-lmri-10">tensi</span><span
class="ec-lmri-10">ón </span>en un punto <span
class="lmmi-10">P</span>, <img
src="ResMat9x.png" alt="⃗σ" class="vec" ><sub><span
class="lmmi-7">p</span></sub>, y es la presión interna media que actúa en una superficie muy
pequeña en torno al punto. Como se puede apreciar, la tensión es una fuerza por unidad de superficie y, por tanto, es una
magnitud <span
class="ec-lmri-10">vectorial</span>.
<div class="center"
>
<!--l. 175--><p class="noindent" >
<!--l. 176--><p class="noindent" ><span
class="ec-lmbx-10">Unidades</span>
</div>
<div class="center"
>
<!--l. 179--><p class="noindent" >
<center class="par-math-display" >
<img
src="ResMat10x.png" alt="-Fuerza---N-- 6 N- -N----kg-
Superficie[m2 ,M P a(10 m2) = mm2 ,cm2 ]
" class="par-math-display" ></center>
<!--l. 182--><p class="nopar" >
</div>
<!--l. 185--><p class="noindent" >
<h4 class="subsectionHead"><span class="titlemark">1.3. </span> <a
id="x1-70001.3"></a>Deformación</h4>
<!--l. 187--><p class="noindent" >La deformación es un concepto ligado al desplazamiento relativo a dos puntos del domino. Hay 3 tipos de deformación
<span
class="ec-lmri-10">entorno a un punto.</span>
<div class="center"
>
<!--l. 190--><p class="noindent" >
<!--l. 191--><p class="noindent" ><img
src="ResMat11x.png" alt="PIC" class="graphics"><!--tex4ht:graphics
name="ResMat11x.png" src="2C__Users_jorge_OneDrive_-_Universidad_de_M__laga_1_Universidad_Apuntes_Normal_xy.png"
-->
</div>
<div class="center"
>
<!--l. 194--><p class="noindent" >
<!--l. 195--><p class="noindent" ><span
class="ec-lmri-10">Dominio Inicial</span>
</div>
<ul class="itemize1">
<li class="itemize"><span
class="ec-lmbx-10">Deformaci</span><span
class="ec-lmbx-10">ón en direcci</span><span
class="ec-lmbx-10">ón </span><span
class="lmmi-10">x</span><span
class="ec-lmbx-10">: </span>Sufren un crecimiento o decrecimiento en la dirección <span
class="lmmi-10">x</span>.</li></ul>
<div class="center"
>
<!--l. 201--><p class="noindent" >
<!--l. 202--><p class="noindent" ><img
src="ResMat12x.png" alt="PIC" class="graphics"><!--tex4ht:graphics
name="ResMat12x.png" src="3C__Users_jorge_OneDrive_-_Universidad_de_M__laga_1_Universidad_Apuntes_deformaci__n_en_x.png"
-->
</div>
<ul class="itemize1">
<li class="itemize"><span
class="ec-lmbx-10">Deformaci</span><span
class="ec-lmbx-10">ón en direcci</span><span
class="ec-lmbx-10">ón </span><span
class="lmmi-10">y</span><span
class="ec-lmbx-10">: </span>Sufre un crecimiento o decrecimiento en la dirección <span
class="lmmi-10">y</span>.</li></ul>
<div class="center"
>
<!--l. 208--><p class="noindent" >
<!--l. 209--><p class="noindent" ><img
src="ResMat13x.png" alt="PIC" class="graphics"><!--tex4ht:graphics
name="ResMat13x.png" src="4C__Users_jorge_OneDrive_-_Universidad_de_M__laga_1_Universidad_Apuntes_deformaci__n_en_y.png"
-->
</div>
<ul class="itemize1">
<li class="itemize"><span
class="ec-lmbx-10">Deformaci</span><span
class="ec-lmbx-10">ón angular: </span>Los ángulos internos del dominio crecen o decrecen.</li></ul>
<div class="center"
>
<!--l. 215--><p class="noindent" >
<!--l. 216--><p class="noindent" ><img
src="ResMat14x.png" alt="PIC" class="graphics"><!--tex4ht:graphics
name="ResMat14x.png" src="5C__Users_jorge_OneDrive_-_Universidad_de_M__laga_1_Universidad_Apuntes_deformaci__n_en_angular.png"
-->
</div>
<!--l. 219--><p class="noindent" >
<h4 class="subsectionHead"><span class="titlemark">1.4. </span> <a
id="x1-80001.4"></a>Equilibro estático vs. equilibrio elástico</h4>
<!--l. 221--><p class="noindent" >El principio del corte se divide en dos tipos de acciones que puede tener un sólido.
<ul class="itemize1">
<li class="itemize">Acciones (<span
class="ec-lmri-10">Fuerzas</span>) externas:
<ul class="itemize2">
<li class="itemize">Fuerzas
</li>
<li class="itemize">Momentos
</li>
<li class="itemize">Temperatura
</li>
<li class="itemize">Desplazamientos (sismo)
</li>
<li class="itemize"><span
class="lmmi-10">...</span></li></ul>
</li>
<li class="itemize">Solicitaciones (<span
class="ec-lmri-10">Fuerzas</span>) internas:
<ul class="itemize2">
<li class="itemize">Tensiones
</li>
<li class="itemize">Deformaciones
</li>
<li class="itemize">Esfuerzos</li></ul>
</li></ul>
<!--l. 239--><p class="noindent" >El conjunto de fuerzas internas debe concordar con el equilibro <span
class="ec-lmri-10">din</span><span
class="ec-lmri-10">ámico </span>es decir debe cumplir que <span
class="lmex-10">∑</span>
<img
src="ResMat15x.png" alt="F⃗" class="vec" > <span
class="rm-lmr-10">= 0 </span>y <span
class="lmex-10">∑</span>
<img
src="ResMat16x.png" alt="M⃗" class="vec" > <span
class="rm-lmr-10">= 0</span>
para cada parte del dominio.
<div class="center"
>
<!--l. 243--><p class="noindent" >
<!--l. 246--><p class="noindent" ><span
class="ec-lmri-10">Un m</span><span
class="ec-lmri-10">étodo de c</span><span
class="ec-lmri-10">álculo aplicado a un buen modelo siempre dar</span><span
class="ec-lmri-10">á mejores resultados que el mejor de los m</span><span
class="ec-lmri-10">étodos de</span>
<span
class="ec-lmri-10">c</span><span
class="ec-lmri-10">álculo aplicado a un modelo mal concebido</span>
</div>
<!--l. 249--><p class="noindent" >
<h4 class="subsectionHead"><span class="titlemark">1.5. </span> <a
id="x1-90001.5"></a>Estudio de un dominio</h4>
<!--l. 251--><p class="noindent" >
<h5 class="subsubsectionHead"><span class="titlemark">1.5.1. </span> <a
id="x1-100001.5.1"></a>Hipótesis de <span
class="ec-lmri-10">constituci</span><span
class="ec-lmri-10">ón</span></h5>
<!--l. 253--><p class="noindent" >Los objetos que estudiaremos cumplen 3 condiciones:
<ul class="itemize1">
<li class="itemize"><span
class="ec-lmbxi-10">Homogeneidad: </span>Todos los puntos están formados por el mismo material, es decir, se definen propiedades
medias.
</li>
<li class="itemize"><span
class="ec-lmbxi-10">Continuidad: </span>No tiene poros, ni defectos <span
class="lmsy-10">→</span><span
class="ec-lmbx-10">SON PERFECTOS </span>(los análisis están hechos desde el punto
de vista macroscópico).
</li>
<li class="itemize"><span
class="ec-lmbxi-10">Isotrop</span><span
class="ec-lmbxi-10">ía: </span>Se comportan igual en todas las direcciones.</li></ul>
<!--l. 262--><p class="noindent" >
<h5 class="subsubsectionHead"><span class="titlemark">1.5.2. </span> <a
id="x1-110001.5.2"></a>Hipótesis de <span
class="ec-lmri-10">comportamiento</span></h5>
<ul class="itemize1">
<li class="itemize"><span
class="ec-lmbxi-10">Linealidad: </span>Son desplazamientos con una relación lineal, se pueden representar de la forma <span
class="lmmi-10">y </span><span
class="rm-lmr-10">= </span><span
class="lmmi-10">mx </span><span
class="rm-lmr-10">+ </span><span
class="lmmi-10">b</span>.
</li>
<li class="itemize"><span
class="ec-lmbxi-10">Elasticidad: </span>Si se cargan <span
class="lmsy-10">→</span><span
class="ec-lmbx-10">se deforman</span>, si de descargan <span
class="lmsy-10">→</span><span
class="ec-lmbx-10">se recuperan.</span>
</li>
<li class="itemize"><span
class="ec-lmbxi-10">Peque</span><span
class="ec-lmbxi-10">ñas deformaciones/desplazamientos: </span>Movimientos cuasiestáticos, parten de una geometría inicial
y después tiene desplazamientos sencillos.</li></ul>
<!--l. 273--><p class="noindent" >
<h5 class="subsubsectionHead"><span class="titlemark">1.5.3. </span> <a
id="x1-120001.5.3"></a>Principio de <span
class="ec-lmri-10">superposici</span><span
class="ec-lmri-10">ón</span></h5>
<!--l. 275--><p class="noindent" >Si un dominio cumple las 3 hipótesis de comportamiento podemos aplicar el principio de superposición, lo cual se resume a
decir que un problema en el que intervienen varias fuerzas/reacciones se puede dividir en la suma de las fuerzas actuando
individualmente en el objeto.
<div class="center"
>
<!--l. 279--><p class="noindent" >
<!--l. 280--><p class="noindent" ><img
src="ResMat17x.png" alt="PIC" class="graphics"><!--tex4ht:graphics
name="ResMat17x.png" src="6C__Users_jorge_OneDrive_-_Universidad_de_M__la___ersidad_Apuntes_Principio_de_superposici__n.png"
-->
</div>
<!--l. 283--><p class="noindent" >
<h3 class="sectionHead"><span class="titlemark">2. </span> <a
id="x1-130002"></a>El tensor de tensiones (TT)</h3>
<!--l. 285--><p class="noindent" >Supongamos que tenemos un <span
class="ec-lmbxi-10">patatoide</span>, como sabemos está sometido a todo tipo de fuerzas, internas y
externas, volumétricas, superficiales, etc... para visualizar el <span
class="ec-lmbxi-10">patatoide </span>cogemos un objeto de la vida real, una
presa
<div class="center"
>
<!--l. 289--><p class="noindent" >
<!--l. 290--><p class="noindent" ><img
src="ResMat18x.png" alt="PIC" class="graphics"><!--tex4ht:graphics
name="ResMat18x.png" src="7C__Users_jorge_OneDrive_-_Universidad_de_M__laga_1_Universidad_Apuntes_presa.png"
-->
</div>
<!--l. 293--><p class="noindent" >Esta presa tiene varias fuerzas y reacciones, el peso de presa <img
src="ResMat19x.png" alt="(⃗P)" class="vec" >, la fuerza/presión que ejerce el agua en la pared derecha, el
peso de los coches que tiene que soportar, la normal que ejerce el suelo <img
src="ResMat20x.png" alt="(⃗n)" class="vec" >y dado que está en equilibrio <span
class="ec-lmri-10">din</span><span
class="ec-lmri-10">ámico </span>y
<span
class="ec-lmri-10">rotacional </span>se tienen que cumplir las ecuaciones <span
class="lmex-10">∑</span>
<img
src="ResMat21x.png" alt="F⃗" class="vec" > <span
class="rm-lmr-10">= 0 </span>y <span
class="lmex-10">∑</span>
<img
src="ResMat22x.png" alt="⃗M" class="vec" > <span
class="rm-lmr-10">= 0</span>.
<div class="center"
>
<!--l. 299--><p class="noindent" >
<!--l. 300--><p class="noindent" ><img
src="ResMat23x.png" alt="PIC" class="graphics"><!--tex4ht:graphics
name="ResMat23x.png" src="8C__Users_jorge_OneDrive_-_Universidad_de_M__laga_1_Universidad_Apuntes_presa-reacciones.png"
-->
</div>
<!--l. 303--><p class="noindent" >Esto lleva a preguntarnos <span
class="ec-lmbx-10">¿Qu</span><span
class="ec-lmbx-10">é ocurre en el interior? </span>ya que la estructura soporta diversas fuerzas sin deformaciones
aparentes...
<!--l. 306--><p class="noindent" >Para el estudio vamos a escoger un punto, con coordenadas <span
class="rm-lmr-10">(</span><span
class="lmmi-10">x,y,z</span><span
class="rm-lmr-10">)</span>, <span
class="ec-lmbx-10">sistema de referencia </span><span
class="lmmi-10">xyz</span>, que está dentro del
sólido; denotamos a dicho punto como <span
class="lmmi-10">P</span>.
<div class="center"
>
<!--l. 309--><p class="noindent" >
<!--l. 310--><p class="noindent" ><img
src="ResMat24x.png" alt="PIC" class="graphics"><!--tex4ht:graphics
name="ResMat24x.png" src="9C__Users_jorge_OneDrive_-_Universidad_de_M__laga_1_Universidad_Apuntes_punto_interno.png"
-->
</div>
<!--l. 313--><p class="noindent" >Por el punto <span
class="lmmi-10">P </span>haremos 3 cortes, el primero de ellos es por un plano <span
class="lmmi-10">xy</span>
<div class="center"
>
<!--l. 315--><p class="noindent" >
<!--l. 316--><p class="noindent" ><img
src="ResMat25x.png" alt="PIC" class="graphics"><!--tex4ht:graphics
name="ResMat25x.png" src="10C__Users_jorge_OneDrive_-_Universidad_de_M__laga_1_Universidad_Apuntes_corte_xy.png"
-->
</div>
<!--l. 319--><p class="noindent" >Recordamos lo visto en <span
class="ec-lmbxi-10">teor</span><span
class="ec-lmbxi-10">ía del corte </span>por lo tanto en el punto <span
class="lmmi-10">P </span>se genera un vector tensión en dirección <span
class="lmmi-10">z </span>definido
como:
<center class="par-math-display" >
<img
src="ResMat26x.png" alt=" ΔF
Tz = l´im ----
ΔS→0 ΔS
" class="par-math-display" ></center>
<!--l. 325--><p class="nopar" >
<!--l. 327--><p class="noindent" >El segundo corte es por un plano <span
class="lmmi-10">xz</span>
<div class="center"
>
<!--l. 328--><p class="noindent" >
<!--l. 329--><p class="noindent" ><img
src="ResMat27x.png" alt="PIC" class="graphics"><!--tex4ht:graphics
name="ResMat27x.png" src="11C__Users_jorge_OneDrive_-_Universidad_de_M__laga_1_Universidad_Apuntes_corte_xz.png"
-->
</div>
<!--l. 332--><p class="noindent" >Se genera un vector tensión en dirección <span
class="lmmi-10">y </span>definido como:
<center class="par-math-display" >
<img
src="ResMat28x.png" alt="Ty = l´im ΔF--
ΔS→0 ΔS
" class="par-math-display" ></center>
<!--l. 336--><p class="nopar" >
<!--l. 338--><p class="noindent" >El tercer y último corte es por un <span
class="lmmi-10">yz</span>
<div class="center"
>
<!--l. 339--><p class="noindent" >
<!--l. 340--><p class="noindent" ><img
src="ResMat29x.png" alt="PIC" class="graphics"><!--tex4ht:graphics
name="ResMat29x.png" src="12C__Users_jorge_OneDrive_-_Universidad_de_M__laga_1_Universidad_Apuntes_corte_yz.png"
-->
</div>
<!--l. 343--><p class="noindent" >Lo cual genera un vector tensión en dirección <span
class="lmmi-10">x </span>y que se define como:
<center class="par-math-display" >
<img
src="ResMat30x.png" alt="T = l´im ΔF--
x ΔS→0 ΔS
" class="par-math-display" ></center>
<!--l. 348--><p class="nopar" >
<!--l. 350--><p class="noindent" >Si representamos los 3 vectores obtenidos en el <span
class="ec-lmbx-10">sistema de referencia </span><span
class="lmmi-10">xyz </span>obtenemos los siguientes gráficos
<div class="center"
>
<!--l. 352--><p class="noindent" >
<!--l. 353--><p class="noindent" ><img
src="ResMat31x.png" alt="PIC" class="graphics"><!--tex4ht:graphics
name="ResMat31x.png" src="13C__Users_jorge_OneDrive_-_Universidad_de_M__laga_1_Universidad_Apuntes_TT.png"
-->
</div>
<!--l. 356--><p class="noindent" >Los vectores <span
class="lmmi-10">T</span><sub><span
class="lmmi-7">x</span></sub><span
class="lmmi-10">,T</span><sub><span
class="lmmi-7">y</span></sub><span
class="lmmi-10">,T</span><sub><span
class="lmmi-7">z</span></sub>se pueden descomponer en sus respectivas componentes y estas componentes forman
el tensor de tensiones (TT), una matriz en la que se colocan por columna las componentes de cada vector
<span
class="lmmi-10">T</span><sub><span
class="lmmi-7">i</span></sub>.
<center class="par-math-display" >
<img
src="ResMat32x.png" alt=" (Txx Tyx Tzx)
T (x,y,z) = (Txy Tyy Tzy)
Txz Tyz Tzz
" class="par-math-display" ></center>
<!--l. 366--><p class="nopar" >
<!--l. 368--><p class="noindent" >La representación gráfica de los 9 vectores no tiene sentido ni interés práctico, por esta razón al punto <span
class="lmmi-10">P </span>lo transformamos
en un cubo (<span
class="ec-lmri-10">paralelep</span><span
class="ec-lmri-10">ípedo </span>elemental) adimensional, el cual nos permite ver el estado tensional en el entorno del
punto.
<div class="center"
>
<!--l. 372--><p class="noindent" >
<!--l. 373--><p class="noindent" ><img
src="ResMat33x.png" alt="PIC" class="graphics"><!--tex4ht:graphics
name="ResMat33x.png" src="14C__Users_jorge_OneDrive_-_Universidad_de_M__laga_1_Universidad_Apuntes_tensor_de_tensiones.png"
-->
</div>
<!--l. 376--><p class="noindent" >
<h4 class="subsectionHead"><span class="titlemark">2.1. </span> <a
id="x1-140002.1"></a>Otras notaciones</h4>
<!--l. 378--><p class="noindent" >El <span
class="ec-lmbx-10">TT </span>tiene otras notaciones para los <span
class="lmmi-10">T</span><sub><span
class="lmmi-7">ij</span></sub>que dependerá del autor y de lo que se quiera resaltar.
<!--l. 381--><p class="noindent" >
<h5 class="subsubsectionHead"><span class="titlemark">2.1.1. </span> <a
id="x1-150002.1.1"></a>Notación sigma (<span
class="lmmi-10">σ</span>)</h5>
<center class="par-math-display" >
<img
src="ResMat34x.png" alt=" ( )
σxx σyx σzx
σ(x,y,z) = (σxy σyy σzy)
σxz σyz σzz
" class="par-math-display" ></center>
<!--l. 388--><p class="nopar" >
<div class="center"
>
<!--l. 390--><p class="noindent" >
<!--l. 391--><p class="noindent" ><img
src="ResMat35x.png" alt="PIC" class="graphics"><!--tex4ht:graphics
name="ResMat35x.png" src="15C__Users_jorge_OneDrive_-_Universidad_de_M__laga_1_Universidad_Apuntes_sigma_TT.png"
-->
</div>
<!--l. 394--><p class="noindent" >
<h5 class="subsubsectionHead"><span class="titlemark">2.1.2. </span> <a
id="x1-160002.1.2"></a>Notación sigma (<span
class="lmmi-10">σ</span>) y tau (<span
class="lmmi-10">τ</span>)</h5>
<center class="par-math-display" >
<img
src="ResMat36x.png" alt=" (σ τ τ )
σ(x,y,z) = (τxx σyx τzx)
τxy τyy σzy
xz yz zz
" class="par-math-display" ></center>
<!--l. 401--><p class="nopar" >
<div class="center"
>
<!--l. 403--><p class="noindent" >
<!--l. 404--><p class="noindent" ><img
src="ResMat37x.png" alt="PIC" class="graphics"><!--tex4ht:graphics
name="ResMat37x.png" src="16C__Users_jorge_OneDrive_-_Universidad_de_M__laga_1_Universidad_Apuntes_sigmatauTT.png"
-->
</div>
<!--l. 407--><p class="noindent" ><span
class="ec-lmbx-10">Nota</span><sub><span
class="rm-lmr-7">1</span></sub><span
class="ec-lmbx-10">: </span>Las normales salientes a las caras coinciden con los ejes coordenados
<div class="center"
>
<!--l. 409--><p class="noindent" >
<!--l. 410--><p class="noindent" ><span
class="lmmi-10">σ</span><sub><span
class="lmmi-7">ii</span></sub> <span
class="lmsy-10">≥ </span><span
class="rm-lmr-10">0</span>
</div>
<!--l. 413--><p class="noindent" ><span
class="ec-lmbx-10">Nota</span><sub><span
class="rm-lmr-7">2</span></sub><span
class="ec-lmbx-10">: </span>Como el <span
class="ec-lmri-10">paralelep</span><span
class="ec-lmri-10">ípedo elemental </span>debe estar en equilibro las tensiones que se generan en un lado en una cara del
cubo, se van a generar en las caras ocultas para, no se grafican por comodidad.
<!--l. 419--><p class="noindent" >
<h4 class="subsectionHead"><span class="titlemark">2.2. </span> <a
id="x1-170002.2"></a>El vector tensión: Componentes intrínsecas</h4>
<!--l. 421--><p class="noindent" >El vector tensión puede representarse como sus componente intrínsecas, si observamos la matriz con notación <span
class="lmmi-10">σ </span>y
<span
class="lmmi-10">τ</span>, el vector <span
class="lmmi-10">σ</span><sub><span
class="lmmi-7">ii</span></sub>siempre es normal a la cara del <span
class="ec-lmri-10">paralelep</span><span
class="ec-lmri-10">ípedo elemental, </span>y los vectores <span
class="lmmi-10">τ</span><sub><span
class="lmmi-7">ij</span></sub>son tangentes al
plano, esto nos permite hallar <span
class="lmmi-10">τ </span>y obtenemos los vectores <span
class="lmmi-10">στ </span>que son las componente intrínsecas del vector
tensión.
<div class="center"
>
<!--l. 427--><p class="noindent" >
<!--l. 428--><p class="noindent" ><img
src="ResMat38x.png" alt="PIC" class="graphics"><!--tex4ht:graphics
name="ResMat38x.png" src="17C__Users_jorge_OneDrive_-_Universidad_de_M__l___Universidad_Apuntes_componentes_intr__secas.png"
-->
</div>
<!--l. 431--><p class="noindent" >Esto nos permite hallar el módulo de la tensión usando el <span
class="ec-lmbx-10">Teorema de Pit</span><span
class="ec-lmbx-10">ágoras</span>.
<center class="math-display" >
<img
src="ResMat39x.png" alt=" ∘ -------
|T | = σ2 + τ2
" class="math-display" ></center>
<!--l. 435--><p class="nopar" >
<!--l. 437--><p class="noindent" >Conocidas las componentes intrínsecas del vector tensión no podemos determinar ni la dirección ni el sentido
<!--l. 440--><p class="noindent" >
<h4 class="subsectionHead"><span class="titlemark">2.3. </span> <a
id="x1-180002.3"></a>Equilibrio interno</h4>
<!--l. 442--><p class="noindent" >Supongamos que tenemos un <span
class="ec-lmbxi-10">patatoide, </span>este está sometido a fuerzas (superficiales, volumétricas, internas, etc...) tomamos
un elemento de volumen diferencial, un cubo formado por dos vértices opuestos como <span
class="lmmi-10">Q</span><span
class="rm-lmr-10">(</span><span
class="lmmi-10">x </span><span
class="rm-lmr-10">+ </span><span
class="lmmi-10">dx,y </span><span
class="rm-lmr-10">+ </span><span
class="lmmi-10">dy,z </span><span
class="rm-lmr-10">+ </span><span
class="lmmi-10">dz</span><span
class="rm-lmr-10">) </span>y
<span
class="lmmi-10">P</span><span
class="rm-lmr-10">(</span><span
class="lmmi-10">x,y,z</span><span
class="rm-lmr-10">)</span>.
<div class="center"
>
<!--l. 446--><p class="noindent" >
<!--l. 447--><p class="noindent" ><img
src="ResMat40x.png" alt="PIC" class="graphics"><!--tex4ht:graphics
name="ResMat40x.png" src="18C__Users_jorge_OneDrive_-_Universidad_de_M__laga_1_Universidad_Apuntes_diferencial_de_volumen.png"
-->
</div>
<!--l. 450--><p class="noindent" >El volumen de diferencial que hemos cogido tiene 6 caras por lo tanto tiene 21 fuerzas, 9 fuerzas tensionales respecto de Q, 9
fuerzas tensionales respecto de P y 3 fuerzas que son componentes de la fuerza volumétrica de la gravedad, como podemos
observar en las siguiente imagen.
<div class="center"
>
<!--l. 454--><p class="noindent" >
<!--l. 455--><p class="noindent" ><img
src="ResMat41x.png" alt="PIC" class="graphics"><!--tex4ht:graphics
name="ResMat41x.png" src="19C__Users_jorge_OneDrive_-_Universidad_de_M__laga_1_Universidad_Apuntes_respecto_Q.png"
--><img
src="ResMat42x.png" alt="PIC" class="graphics"><!--tex4ht:graphics
name="ResMat42x.png" src="20C__Users_jorge_OneDrive_-_Universidad_de_M__laga_1_Universidad_Apuntes_respecto_P.png"
--><img
src="ResMat43x.png" alt="PIC" class="graphics"><!--tex4ht:graphics
name="ResMat43x.png" src="21C__Users_jorge_OneDrive_-_Universidad_de_M__laga_1_Universidad_Apuntes_cdg.png"
-->
</div>
<!--l. 458--><p class="noindent" >Internamente el volumen debe estar en equilibrio dinámico y rotacional, es por ello que la <span
class="lmex-10">∑</span>
<img
src="ResMat44x.png" alt="⃗F" class="vec" > <span
class="rm-lmr-10">= 0 </span>y <span
class="lmex-10">∑</span>
<img
src="ResMat45x.png" alt="⃗M" class="vec" > <span
class="rm-lmr-10">= 0</span>.
<center class="par-math-display" >
<img
src="ResMat46x.png" alt="∑
F⃗ = 0
" class="par-math-display" ></center>
<!--l. 463--><p class="nopar" >
<center class="par-math-display" >
<img
src="ResMat47x.png" alt="∑ ∑ ∑
Fx = 0, Fy = 0, Fz = 0
" class="par-math-display" ></center>
<!--l. 467--><p class="nopar" >
<center class="par-math-display" >
<img
src="ResMat48x.png" alt="σxx(Q)dydz + τyx(Q)dxdz + τzx(Q )dxdy- (σxx(P )dydz + τyx(P )dxdz + τzx(P )dxdy )+ Xdxdydz = 0
" class="par-math-display" ></center>
<!--l. 471--><p class="nopar" >
<!--l. 473--><p class="noindent" ><span
class="ec-lmbx-10">Nota: </span>Las tensiones se multiplican por un diferencial de área porque una tensión tiene como unidad <img
src="ResMat49x.png" alt="Fuerza-
´Area" > y el equilibrio
se hace con las fuerzas.
<!--l. 477--><p class="noindent" ><span
class="ec-lmbx-10">Nota: </span>La fuerza volumétrica se multiplica por un diferencial de volumen precisamente porque es la fuerza por unidad de
volumen.
<center class="par-math-display" >
<img
src="ResMat50x.png" alt="∑ ∂σxx ∂τyx ∂ τzx
F⃗x = 0=⇒ -∂x--+ -∂y-+ -∂z- + X = 0
" class="par-math-display" ></center>
<!--l. 482--><p class="nopar" >
<center class="par-math-display" >
<img
src="ResMat51x.png" alt="∑ F⃗ = 0=⇒ ∂τxy + ∂σyy+ ∂-τzy + Y = 0
y ∂x ∂y ∂z
" class="par-math-display" ></center>
<!--l. 486--><p class="nopar" >
<center class="par-math-display" >
<img
src="ResMat52x.png" alt="∑ ∂τ ∂τ ∂σ
F⃗z = 0=⇒ --xz + --yz+ --zz + Z = 0
∂x ∂y ∂z
" class="par-math-display" ></center>
<!--l. 490--><p class="nopar" >
<!--l. 492--><p class="noindent" >Ahora tenemos que analizar el equilibrio rotacional
<center class="par-math-display" >
<img
src="ResMat53x.png" alt="∑ ⃗
M = 0
" class="par-math-display" ></center>
<!--l. 496--><p class="nopar" >
<center class="par-math-display" >
<img
src="ResMat54x.png" alt="∑ ∑ ∑
Mx = 0, My = 0, Mz = 0
" class="par-math-display" ></center>
<!--l. 500--><p class="nopar" >
<!--l. 502--><p class="noindent" >En el estudio de momentos podemos eliminar fuerzas que no producen momento; las fuerzas <span
class="lmmi-10">σ</span><sub><span
class="lmmi-7">xx</span></sub><span
class="lmmi-10">,τ</span><sub><span
class="lmmi-7">xz</span></sub><span
class="lmmi-10">,τ</span><sub><span
class="lmmi-7">xy</span></sub>son descartadas
porque no producen momento en la dirección del eje <span
class="lmmi-10">x</span>, todo debe analizarse como si el cubo rotara en dicha
dirección,
<!--l. 508--><p class="noindent" >
<h3 class="sectionHead"><span class="titlemark">3. </span> <a
id="x1-190003"></a>Preguntas/dudas</h3>
<!--l. 511--><p class="noindent" ><span id="textcolor1"><span
class="ec-lmbx-10">Pregunta: ¿Con los ejes coordenados significa que con el sistema de referencia tambi</span><span
class="ec-lmbx-10">én?</span></span>
<!--l. 514--><p class="noindent" ><span id="textcolor2"><span
class="ec-lmbx-10">Pregunta: ¿Nombre de </span><span
class="lmmi-10">σ </span><span
class="ec-lmbx-10">y </span><span
class="lmmi-10">τ </span><span
class="ec-lmbx-10">cizalladura tensi</span><span
class="ec-lmbx-10">ón?</span></span>
<!--l. 517--><p class="noindent" ><span id="textcolor3"><span
class="ec-lmbx-10">Pregunta: ¿Equilibrio interno de d</span><span
class="ec-lmbx-10">ónde sale la fuerza volum</span><span
class="ec-lmbx-10">étrica (centro de gravedad –> fuerza</span>
<span
class="ec-lmbx-10">gravitatoria)?</span></span>
<!--l. 519--><p class="noindent" ><span
class="ec-lmbx-10">Respuesta: </span>Lo he pensado un par de minutos y supongo que sí ya que es un equilibrio interno del sólido
</body></html>
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