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Rhyloo (discusión | contribs.)
Sin resumen de edición
Línea 1:
<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD HTML 4.01 Transitional//EN"
% Vista preliminar del código fuente
"http://www.w3.org/TR/html4/loose.dtd">
<html xml:lang="es" >
<head><title>Resistencia de materiales</title>
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<meta name="generator" content="TeX4ht (http://www.tug.org/tex4ht/)">
<meta name="originator" content="TeX4ht (http://www.tug.org/tex4ht/)">
<!-- html -->
<meta name="src" content="ResMat.tex">
<link rel="stylesheet" type="text/css" href="ResMat.css">
</head><body
>
<div class="maketitle">
 
<h2 class="titleHead">Resistencia de materiales</h2>
%% LyX 2.3.3 created this file. For more info, see http://www.lyx.org/.
<div class="author" ><span
%% Do not edit unless you really know what you are doing.
class="ec-lmr-12">Jorge Benavides Mac</span><span
\documentclass[spanish]{article}
class="ec-lmr-12">ías</span></div><br />
\usepackage{lmodern}
<div class="date" ><span
\renewcommand{\familydefault}{\rmdefault}
class="ec-lmr-12">22</span><span
\usepackage[T1]{fontenc}
class="ec-lmr-12">&#x00A0;de octubre</span><span
\usepackage[latin9]{inputenc}
class="ec-lmr-12">&#x00A0;de</span><span
\setlength{\parindent}{0cm}
class="ec-lmr-12">&#x00A0;2019</span></div>
\usepackage{color}
</div>
\usepackage{babel}
<h3 class="likesectionHead"><a
\addto\shorthandsspanish{\spanishdeactivate{~<>}}
id="x1-1000"></a>Índice</h3>
 
<div class="tableofcontents">
\usepackage{amsmath}
<span class="sectionToc" >1 <a
\usepackage{amsthm}
href="#x1-20001" id="QQ2-1-2">Introducción a la elasticidad y a la resistencia de materiales</a></span>
\usepackage{graphicx}
<br />&#x00A0;<span class="subsectionToc" >1.1 <a
\usepackage[unicode=true]
href="#x1-30001.1" id="QQ2-1-3">Teoría del corte</a></span>
{hyperref}
<br />&#x00A0;&#x00A0;<span class="subsubsectionToc" >1.1.1 <a
 
href="#x1-40001.1.1" id="QQ2-1-4">¿De dónde surgen las fuerzas y los momentos internos que actúan en una sección?</a></span>
\makeatletter
<br />&#x00A0;<span class="subsectionToc" >1.2 <a
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Textclass specific LaTeX commands.
href="#x1-50001.2" id="QQ2-1-5">Tensión mecánica</a></span>
\numberwithin{equation}{section}
<br />&#x00A0;&#x00A0;<span class="subsubsectionToc" >1.2.1 <a
\numberwithin{figure}{section}
href="#x1-60001.2.1" id="QQ2-1-6">Definición matemática de la tensión en un punto</a></span>
 
<br />&#x00A0;<span class="subsectionToc" >1.3 <a
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% User specified LaTeX commands.
href="#x1-70001.3" id="QQ2-1-7">Deformación</a></span>
\usepackage{amsmath}
<br />&#x00A0;<span class="subsectionToc" >1.4 <a
\usepackage{amssymb}
href="#x1-80001.4" id="QQ2-1-8">Equilibro estático vs. equilibrio elástico</a></span>
\usepackage[left=2cm, right=2cm, top=2cm, bottom=2cm]{geometry}
<br />&#x00A0;<span class="subsectionToc" >1.5 <a
\usepackage{xcolor}
href="#x1-90001.5" id="QQ2-1-9">Estudio de un dominio</a></span>
\hypersetup{
<br />&#x00A0;&#x00A0;<span class="subsubsectionToc" >1.5.1 <a
colorlinks,
href="#x1-100001.5.1" id="QQ2-1-10">Hipótesis de <span
linkcolor={red!50!black},
class="ec-lmri-10">constituci</span><span
citecolor={blue!50!black},
class="ec-lmri-10">ón</span></a></span>
urlcolor={blue!80!black}
<br />&#x00A0;&#x00A0;<span class="subsubsectionToc" >1.5.2 <a
}
href="#x1-110001.5.2" id="QQ2-1-11">Hipótesis de <span
 
class="ec-lmri-10">comportamiento</span></a></span>
\makeatother
<br />&#x00A0;&#x00A0;<span class="subsubsectionToc" >1.5.3 <a
 
href="#x1-120001.5.3" id="QQ2-1-12">Principio de <span
\begin{document}
class="ec-lmri-10">superposici</span><span
\title{Resistencia de materiales}
class="ec-lmri-10">ón</span></a></span>
\author{Jorge Benavides Macías}
<br /><span class="sectionToc" >2 <a
 
href="#x1-130002" id="QQ2-1-13">El tensor de tensiones (TT)</a></span>
\maketitle
<br />&#x00A0;<span class="subsectionToc" >2.1 <a
\tableofcontents{}
href="#x1-140002.1" id="QQ2-1-14">Otras notaciones</a></span>
 
<br />&#x00A0;&#x00A0;<span class="subsubsectionToc" >2.1.1 <a
\newpage
href="#x1-150002.1.1" id="QQ2-1-15">Notación sigma (<span
 
class="lmmi-10">&#x03C3;</span>)</a></span>
\section{Introducción a la elasticidad y a la resistencia de materiales}
<br />&#x00A0;&#x00A0;<span class="subsubsectionToc" >2.1.2 <a
 
href="#x1-160002.1.2" id="QQ2-1-16">Notación sigma (<span
En el análisis elástico, elasticidad, tenemos un \textbf{\emph{patatoide
class="lmmi-10">&#x03C3;</span>) y tau (<span
}}(domino o cuerpo sobre el que se hace el análisis), este \textbf{\emph{patatoide}}
class="lmmi-10">&#x03C4;</span>)</a></span>
estás sometido a cierto tipo de acciones, ya sean superficiales o
<br />&#x00A0;<span class="subsectionToc" >2.2 <a
volumétricas, que producen un desplazamiento o son contrarias a un
href="#x1-170002.2" id="QQ2-1-17">El vector tensión: Componentes intrínsecas</a></span>
desplazamiento que el objeto tenía desde el principio.
<br />&#x00A0;<span class="subsectionToc" >2.3 <a
 
href="#x1-180002.3" id="QQ2-1-18">Equilibrio interno</a></span>
\medskip
<br /><span class="sectionToc" >3 <a
 
href="#x1-190003" id="QQ2-1-19">Preguntas/dudas</a></span>
\textbf{\emph{Definiciones}}
</div>
\begin{itemize}
<!--l. 47--><p class="noindent" >
\item \emph{Dominio: }Es un sólido con una forma $x$ genérica, que tiene
que ser \emph{resistente} a una serie de acciones (todo aquello que
ataque el dominio)
<h3 class="sectionHead"><span class="titlemark">1. </span> <a
\item \emph{Fuerzas}
id="x1-20001"></a>Introducción a la elasticidad y a la resistencia de materiales</h3>
\begin{itemize}
<!--l. 51--><p class="noindent" >En el análisis elástico, elasticidad, tenemos un <span
\item \textbf{Puntuales: }Un ejemplo sería el dedo sobre la mesa ya que
class="ec-lmbxi-10">patatoide </span>(domino o cuerpo sobre el que se hace el análisis), este <span
comparado con el tamaño de la mesa es un punto en la superficie un
class="ec-lmbxi-10">patatoide</span>
diferencial.
estás sometido a cierto tipo de acciones, ya sean superficiales o volumétricas, que producen un desplazamiento o son
\item \textbf{Superficiales: }Cuando estamos sentados sobre la silla, nuestro
contrarias a un desplazamiento que el objeto tenía desde el principio.
cuerpo ejerce una fuerza superficial sobre la madera.
<!--l. 59--><p class="noindent" ><span
\item \textbf{Volumen: }La gravedad es una fuerza volumétrica ya que atrae
class="ec-lmbxi-10">Definiciones</span>
a los cuerpos hacia el centro de la tierra, la fuerza electromagnética
<ul class="itemize1">
también \textbf{podría ser} considerada una fuerza volumétrica (\emph{depende
<li class="itemize"><span
del campo que genere la fuerza}).
class="ec-lmri-10">Dominio: </span>Es un sólido con una forma <span
\end{itemize}
class="lmmi-10">x </span>genérica, que tiene que ser <span
\end{itemize}
class="ec-lmri-10">resistente </span>a una serie de acciones (todo
\begin{center}
aquello que ataque el dominio)
\textbf{Objetivo}
</li>
\par\end{center}
<li class="itemize"><span
 
class="ec-lmri-10">Fuerzas</span>
\begin{center}
<ul class="itemize2">
\emph{Garantizar que el dominio soporta las acciones }\textbf{\emph{en
<li class="itemize"><span
unas condiciones concretas, }}\emph{realizando modelos simplificados
class="ec-lmbx-10">Puntuales: </span>Un ejemplo sería el dedo sobre la mesa ya que comparado con el tamaño de la mesa es un
de cálculo (relaciones de causa-efecto)}
punto en la superficie un diferencial.
\par\end{center}
</li>
 
<li class="itemize"><span
Debemos realizar este tipo de estudios considerando hipótesis de comportamiento,
class="ec-lmbx-10">Superficiales: </span>Cuando estamos sentados sobre la silla, nuestro cuerpo ejerce una fuerza superficial sobre
ejemplo:
la madera.
\begin{itemize}
</li>
\item Modelo rígido $\rightarrow$ no se deforma
<li class="itemize"><span
\item Modelo elástico $\rightarrow$ se deforma y se recupera
class="ec-lmbx-10">Volumen: </span>La gravedad es una fuerza volumétrica ya que atrae a los cuerpos hacia el centro de la tierra,
\item $\vdots$
la fuerza electromagnética también <span
\item Modelo plástico $\rightarrow$se deforma y no se recupera
class="ec-lmbx-10">podr</span><span
\end{itemize}
class="ec-lmbx-10">ía ser </span>considerada una fuerza volumétrica (<span
 
class="ec-lmri-10">depende del campo</span>
\subsection{Teoría del corte}
<span
 
class="ec-lmri-10">que genere la fuerza</span>).</li></ul>
Supongamos que tenemos \textbf{\emph{tiza}} horizontal en el plano
</li></ul>
$xy$, y realizamos un corte \emph{imaginario} en el punto medio con
<div class="center"
el plano $x=n$, obtenemos algo similar a esto
>
\begin{center}
<!--l. 77--><p class="noindent" >
\includegraphics[scale=0.4]{\string"teoría del corte\string".png}
<!--l. 78--><p class="noindent" ><span
\par\end{center}
class="ec-lmbx-10">Objetivo</span>
 
</div>
Aplicando algo de lógica podemos deducir las fuerzas y momentos resultantes,
<div class="center"
la \textbf{tiza }estaba en equilibrio \emph{dinámico, }esto quiere
>
decir que no se movía ni hacia arriba, ni hacia abajo ni en ningún
<!--l. 81--><p class="noindent" >
sentido, como resultado el punto medio cumplía la ecuación $\sum\limits_{i}\vec{F}_i = 0$
<!--l. 82--><p class="noindent" ><span
es decir que la fuerza que unía al punto medio con su diferencial
class="ec-lmri-10">Garantizar que el dominio soporta las acciones </span><span
del punto medio en el otro extremo tenía una fuerza de igual magnitud
class="ec-lmbxi-10">en unas condiciones concretas, </span><span
y opuesta; no obstante esta ecuación es condición necesaria pero no
class="ec-lmri-10">realizando modelos</span>
suficiente para generar el equilibrio, también debe cumplir la ecuación
<span
de equilibro \emph{rotacional }$\sum\limits_{i}\vec{M}_i = 0$, las
class="ec-lmri-10">simplificados de c</span><span
fuerzas generan un momento pero esto son anulados porque las fuerzas
class="ec-lmri-10">álculo (relaciones de causa-efecto)</span>
son inversas.
</div>
 
<!--l. 87--><p class="noindent" >Debemos realizar este tipo de estudios considerando hipótesis de comportamiento, ejemplo:
\subsubsection{¿De dónde surgen las fuerzas y los momentos internos que actúan en
<ul class="itemize1">
una sección?}
<li class="itemize">Modelo rígido <span
 
class="lmsy-10">&#x2192; </span>no se deforma
El material sólido del que está fabricado un elemento mecánico es
</li>
continuo, de forma que la acción de las cargas externas se transmite
<li class="itemize">Modelo elástico <span
de punto a punto del elemento. Cuando se divide el elemento por un
class="lmsy-10">&#x2192; </span>se deforma y se recupera
plano se rompe esta continuidad \emph{en cada punto }de las sección
</li>
de corte. En consecuencia, en cada punto \emph{P} aparece una fuerza
<li class="itemize"><img
interna igual y contraria a cada lado del plano del corte.
src="ResMat0x.png" alt="..
 
." class="vdots" >
\bigskip
</li>
 
<li class="itemize">Modelo plástico <span
La fuerza interna que actúa sobre cada punto \emph{P} de una sección
class="lmsy-10">&#x2192;</span>se deforma y no se recupera</li></ul>
imaginaria de un sólido se conoce como \emph{tensión }o \emph{esfuerzo}
<!--l. 96--><p class="noindent" >
<h4 class="subsectionHead"><span class="titlemark">1.1. </span> <a
id="x1-30001.1"></a>Teoría del corte</h4>
<!--l. 98--><p class="noindent" >Supongamos que tenemos <span
class="ec-lmbxi-10">tiza </span>horizontal en el plano <span
class="lmmi-10">xy</span>, y realizamos un corte <span
class="ec-lmri-10">imaginario </span>en el punto medio con el plano
<span
class="lmmi-10">x </span><span
class="rm-lmr-10">= </span><span
class="lmmi-10">n</span>, obtenemos algo similar a esto
<div class="center"
>
<!--l. 101--><p class="noindent" >
<!--l. 102--><p class="noindent" ><img
src="ResMat1x.png" alt="PIC" class="graphics"><!--tex4ht:graphics
name="ResMat1x.png" src="0C__Users_jorge_OneDrive_-_Universidad_de_M__laga_1_Universidad_Apuntes_teor__a_del_corte.png"
-->
</div>
<!--l. 105--><p class="noindent" >Aplicando algo de lógica podemos deducir las fuerzas y momentos resultantes, la <span
class="ec-lmbx-10">tiza </span>estaba en equilibrio <span
class="ec-lmri-10">din</span><span
class="ec-lmri-10">ámico, </span>esto
quiere decir que no se movía ni hacia arriba, ni hacia abajo ni en ningún sentido, como resultado el punto
medio cumplía la ecuación <span
class="lmex-10">&#x2211;</span>
<sub><span
class="lmmi-7">i</span></sub><img
src="ResMat2x.png" alt="&#x20D7;F" class="vec" ><sub><span
class="lmmi-7">i</span></sub> <span
class="rm-lmr-10">= 0 </span>es decir que la fuerza que unía al punto medio con su diferencial del
punto medio en el otro extremo tenía una fuerza de igual magnitud y opuesta; no obstante esta ecuación
es condición necesaria pero no suficiente para generar el equilibrio, también debe cumplir la ecuación de
equilibro <span
class="ec-lmri-10">rotacional</span> <span
class="lmex-10">&#x2211;</span>
<sub><span
class="lmmi-7">i</span></sub><img
src="ResMat3x.png" alt="M&#x20D7;" class="vec" ><sub><span
class="lmmi-7">i</span></sub> <span
class="rm-lmr-10">= 0</span>, las fuerzas generan un momento pero esto son anulados porque las fuerzas son
inversas.
<!--l. 118--><p class="noindent" >
<h5 class="subsubsectionHead"><span class="titlemark">1.1.1. </span> <a
id="x1-40001.1.1"></a>¿De dónde surgen las fuerzas y los momentos internos que actúan en una sección?</h5>
<!--l. 120--><p class="noindent" >El material sólido del que está fabricado un elemento mecánico es continuo, de forma que la acción de las cargas externas se
transmite de punto a punto del elemento. Cuando se divide el elemento por un plano se rompe esta continuidad <span
class="ec-lmri-10">en cada</span>
<span
class="ec-lmri-10">punto </span>de las sección de corte. En consecuencia, en cada punto <span
class="ec-lmri-10">P </span>aparece una fuerza interna igual y contraria a cada lado del
plano del corte.
<!--l. 129--><p class="noindent" >La fuerza interna que actúa sobre cada punto <span
class="ec-lmri-10">P </span>de una sección imaginaria de un sólido se conoce como <span
class="ec-lmri-10">tensi</span><span
class="ec-lmri-10">ón </span>o <span
class="ec-lmri-10">esfuerzo</span>
en el punto.
<!--l. 136--><p class="noindent" >
 
<h4 class="subsectionHead"><span class="titlemark">1.2. </span> <a
\bigskip
id="x1-50001.2"></a><a
 
href="https://es.wikipedia.org/wiki/Tensi%C3%B3n_mec%C3%A1nica#Principio_de_Cauchy" >Tensión mecánica</a></h4>
 
<!--l. 138--><p class="noindent" >Es la magnitud física que representa la fuerza por unidad de área en el entorno de un punto material sobre una superficie
\subsection{\protect\href{https://es.wikipedia.org/wiki/Tensi\%C3\%B3n_mec\%C3\%A1nica\#Principio_de_Cauchy}{Tensión mecánica}}
real o imaginaria de un <span
 
class="ec-lmbx-10">medio continuo.</span>
Es la magnitud física que representa la fuerza por unidad de área
<!--l. 142--><p class="noindent" >
en el entorno de un punto material sobre una superficie real o imaginaria
<h5 class="subsubsectionHead"><span class="titlemark">1.2.1. </span> <a
de un \textbf{medio continuo. }
id="x1-60001.2.1"></a>Definición matemática de la tensión en un punto</h5>
 
<!--l. 144--><p class="noindent" >Supongamos que cortamos un elemento cargado por el plano <span
\subsubsection{Definición matemática de la tensión en un punto}
class="lmmi-10">&#x03C0; </span>(identificado por un vector normal, <img
 
src="ResMat4x.png" alt="&#x20D7;n" class="vec" >). En la parte
Supongamos que cortamos un elemento cargado por el plano $\pi$ (identificado
<span
por un vector normal, $\vec{n}$). En la parte $E_{1}$estudiaremos
class="lmmi-10">E</span><sub><span
la superficie del corte, que se ha dividido en parcelas pequeñas.
class="rm-lmr-7">1</span></sub>estudiaremos la superficie del corte, que se ha dividido en parcelas pequeñas. Vamos a fijarnos en una de ellas, <span
Vamos a fijarnos en una de ellas, $S_{p}$, cuyo centro de presiones
class="lmmi-10">S</span><sub><span
es el punto $P$. La fuerza interna resultante, es $\vec{F_{p}}$,
class="lmmi-7">p</span></sub>, cuyo
sobre la parcela será la suma de las tensiones o fuerzas internas
centro de presiones es el punto <span
existentes en cada uno de los puntos.
class="lmmi-10">P</span>. La fuerza interna resultante, es <img
\begin{center}
src="ResMat5x.png" alt="&#x20D7;Fp" class="vec" >, sobre la parcela será la suma de las tensiones o
\includegraphics[scale=0.4]{diagrama-fuerzas-internas}
fuerzas internas existentes en cada uno de los puntos.
\par\end{center}
<div class="center"
 
>
Si hacemos el cociente entre la fuerza existente y el área de la parcela,
<!--l. 151--><p class="noindent" >
al ser esta muy pequeña obtenemos un parámetro que nos dará una idea
<!--l. 152--><p class="noindent" ><img
del nivel de tensión que están soportando sus puntos:
src="ResMat6x.png" alt="PIC" class="graphics"><!--tex4ht:graphics
 
name="ResMat6x.png" src="1C__Users_jorge_OneDrive_-_Universidad_de_M__la___iversidad_Apuntes_diagrama-fuerzas-internas.png"
\[
-->
\vec{f_{p}}=\dfrac{\vec{F}_{p}}{S_{p}}
</div>
\]
<!--l. 155--><p class="noindent" >Si hacemos el cociente entre la fuerza existente y el área de la parcela, al ser esta muy pequeña obtenemos un parámetro
 
que nos dará una idea del nivel de tensión que están soportando sus puntos:
Si hacemos más pequeña la parcela entorno al punto $P$, el valor
de la fuerza resultante irá variando, tendiendo hacia el valor que
realmente hay en el punto \emph{P:}
<center class="par-math-display" >
 
<img
\[
src="ResMat7x.png" alt=" &#x20D7;F
\vec{\sigma}=\lim_{S_{p}\rightarrow0}\dfrac{\vec{F}_{p}}{S_{p}}=T
&#x20D7;fp = -p-
\]
Sp
 
" class="par-math-display" ></center>
Ese valor límite es denominado\emph{ tensión }en un punto $P$, $\vec{\sigma}_{p}$,
<!--l. 161--><p class="nopar" >
y es la presión interna media que actúa en una superficie muy pequeña
<!--l. 163--><p class="noindent" >Si hacemos más pequeña la parcela entorno al punto <span
en torno al punto. Como se puede apreciar, la tensión es una fuerza
class="lmmi-10">P</span>, el valor de la fuerza resultante irá variando, tendiendo hacia el valor
por unidad de superficie y, por tanto, es una magnitud \emph{vectorial}.
que realmente hay en el punto <span
\begin{center}
class="ec-lmri-10">P:</span>
\textbf{Unidades}
<center class="par-math-display" >
\par\end{center}
<img
 
src="ResMat8x.png" alt=" F&#x20D7;p
\begin{center}
&#x20D7;&#x03C3; = Sl´ipm&#x2192;0S--= T
\[
p
\dfrac{Fuerza}{Superficie}\Biggl[\dfrac{N}{m^{2}},MPa\bigg(10^{6}\dfrac{N}{m^{2}}\bigg)=\dfrac{N}{mm^{2}},\dfrac{kg}{cm^{2}}\Biggr]
" class="par-math-display" ></center>
\]
<!--l. 169--><p class="nopar" >
\par\end{center}
<!--l. 171--><p class="noindent" >Ese valor límite es denominado <span
 
class="ec-lmri-10">tensi</span><span
\subsection{Deformación}
class="ec-lmri-10">ón </span>en un punto <span
 
class="lmmi-10">P</span>, <img
La deformación es un concepto ligado al desplazamiento relativo a
src="ResMat9x.png" alt="&#x20D7;&#x03C3;" class="vec" ><sub><span
dos puntos del domino. Hay 3 tipos de deformación \emph{entorno a
class="lmmi-7">p</span></sub>, y es la presión interna media que actúa en una superficie muy
un punto.}
pequeña en torno al punto. Como se puede apreciar, la tensión es una fuerza por unidad de superficie y, por tanto, es una
\begin{center}
magnitud <span
\includegraphics[scale=0.4]{\string"Normal xy\string".png}
class="ec-lmri-10">vectorial</span>.
\par\end{center}
<div class="center"
 
>
\begin{center}
<!--l. 175--><p class="noindent" >
\emph{Dominio Inicial}
<!--l. 176--><p class="noindent" ><span
\par\end{center}
class="ec-lmbx-10">Unidades</span>
\begin{itemize}
</div>
\item \textbf{Deformación en dirección $x$:} Sufren un crecimiento o decrecimiento
<div class="center"
en la dirección $x$.
>
\end{itemize}
<!--l. 179--><p class="noindent" >
\begin{center}
<center class="par-math-display" >
\includegraphics[scale=0.4]{\string"deformación en x\string".png}
<img
\par\end{center}
src="ResMat10x.png" alt="-Fuerza---N-- 6 N- -N----kg-
\begin{itemize}
Superficie[m2 ,M P a(10 m2) = mm2 ,cm2 ]
\item \textbf{Deformación en dirección $y$: }Sufre un crecimiento o decrecimiento
" class="par-math-display" ></center>
en la dirección $y$.
<!--l. 182--><p class="nopar" >
\end{itemize}
</div>
\begin{center}
<!--l. 185--><p class="noindent" >
\includegraphics[scale=0.4]{\string"deformación en y\string".png}
<h4 class="subsectionHead"><span class="titlemark">1.3. </span> <a
\par\end{center}
id="x1-70001.3"></a>Deformación</h4>
\begin{itemize}
<!--l. 187--><p class="noindent" >La deformación es un concepto ligado al desplazamiento relativo a dos puntos del domino. Hay 3 tipos de deformación
\item \textbf{Deformación angular: }Los ángulos internos del dominio crecen
<span
o decrecen.
class="ec-lmri-10">entorno a un punto.</span>
\end{itemize}
\begin{<div class="center}"
>
\includegraphics[scale=0.4]{\string"deformación en angular\string".png}
<!--l. 190--><p class="noindent" >
\par\end{center}
<!--l. 191--><p class="noindent" ><img
 
src="ResMat11x.png" alt="PIC" class="graphics"><!--tex4ht:graphics
\subsection{Equilibro estático vs. equilibrio elástico}
name="ResMat11x.png" src="2C__Users_jorge_OneDrive_-_Universidad_de_M__laga_1_Universidad_Apuntes_Normal_xy.png"
 
-->
El principio del corte se divide en dos tipos de acciones que puede
</div>
tener un sólido.
<div class="center"
\begin{itemize}
>
\item Acciones (\emph{Fuerzas}) externas:
<!--l. 194--><p class="noindent" >
\begin{itemize}
<!--l. 195--><p class="noindent" ><span
\item Fuerzas
class="ec-lmri-10">Dominio Inicial</span>
\item Momentos
</div>
\item Temperatura
\item Desplazamientos (sismo)
\item $...$
<ul class="itemize1">
\end{itemize}
<li class="itemize"><span
\item Solicitaciones (\emph{Fuerzas}) internas:
class="ec-lmbx-10">Deformaci</span><span
\begin{itemize}
class="ec-lmbx-10">ón en direcci</span><span
\item Tensiones
class="ec-lmbx-10">ón </span><span
\item Deformaciones
class="lmmi-10">x</span><span
\item Esfuerzos
class="ec-lmbx-10">: </span>Sufren un crecimiento o decrecimiento en la dirección <span
\end{itemize}
class="lmmi-10">x</span>.</li></ul>
\end{itemize}
<div class="center"
El conjunto de fuerzas internas debe concordar con el equilibro \emph{dinámico}
>
es decir debe cumplir que $\sum {\vec{F}} = 0$ y $\sum {\vec{M}} = 0$
<!--l. 201--><p class="noindent" >
<!--l. 202--><p class="noindent" ><img
src="ResMat12x.png" alt="PIC" class="graphics"><!--tex4ht:graphics
name="ResMat12x.png" src="3C__Users_jorge_OneDrive_-_Universidad_de_M__laga_1_Universidad_Apuntes_deformaci__n_en_x.png"
-->
</div>
<ul class="itemize1">
<li class="itemize"><span
class="ec-lmbx-10">Deformaci</span><span
class="ec-lmbx-10">ón en direcci</span><span
class="ec-lmbx-10">ón </span><span
class="lmmi-10">y</span><span
class="ec-lmbx-10">: </span>Sufre un crecimiento o decrecimiento en la dirección <span
class="lmmi-10">y</span>.</li></ul>
<div class="center"
>
<!--l. 208--><p class="noindent" >
<!--l. 209--><p class="noindent" ><img
src="ResMat13x.png" alt="PIC" class="graphics"><!--tex4ht:graphics
name="ResMat13x.png" src="4C__Users_jorge_OneDrive_-_Universidad_de_M__laga_1_Universidad_Apuntes_deformaci__n_en_y.png"
-->
</div>
<ul class="itemize1">
<li class="itemize"><span
class="ec-lmbx-10">Deformaci</span><span
class="ec-lmbx-10">ón angular: </span>Los ángulos internos del dominio crecen o decrecen.</li></ul>
<div class="center"
>
<!--l. 215--><p class="noindent" >
<!--l. 216--><p class="noindent" ><img
src="ResMat14x.png" alt="PIC" class="graphics"><!--tex4ht:graphics
name="ResMat14x.png" src="5C__Users_jorge_OneDrive_-_Universidad_de_M__laga_1_Universidad_Apuntes_deformaci__n_en_angular.png"
-->
</div>
<!--l. 219--><p class="noindent" >
<h4 class="subsectionHead"><span class="titlemark">1.4. </span> <a
id="x1-80001.4"></a>Equilibro estático vs. equilibrio elástico</h4>
<!--l. 221--><p class="noindent" >El principio del corte se divide en dos tipos de acciones que puede tener un sólido.
<ul class="itemize1">
<li class="itemize">Acciones (<span
class="ec-lmri-10">Fuerzas</span>) externas:
<ul class="itemize2">
<li class="itemize">Fuerzas
</li>
<li class="itemize">Momentos
</li>
<li class="itemize">Temperatura
</li>
<li class="itemize">Desplazamientos (sismo)
</li>
<li class="itemize"><span
class="lmmi-10">...</span></li></ul>
</li>
<li class="itemize">Solicitaciones (<span
class="ec-lmri-10">Fuerzas</span>) internas:
<ul class="itemize2">
<li class="itemize">Tensiones
</li>
<li class="itemize">Deformaciones
</li>
<li class="itemize">Esfuerzos</li></ul>
</li></ul>
<!--l. 239--><p class="noindent" >El conjunto de fuerzas internas debe concordar con el equilibro <span
class="ec-lmri-10">din</span><span
class="ec-lmri-10">ámico </span>es decir debe cumplir que <span
class="lmex-10">&#x2211;</span>
<img
src="ResMat15x.png" alt="F&#x20D7;" class="vec" > <span
class="rm-lmr-10">= 0 </span>y <span
class="lmex-10">&#x2211;</span>
<img
src="ResMat16x.png" alt="M&#x20D7;" class="vec" > <span
class="rm-lmr-10">= 0</span>
para cada parte del dominio.
<div class="center"
 
>
\begin{center}
<!--l. 243--><p class="noindent" >
\emph{Un método de cálculo aplicado a un buen modelo siempre dará
<!--l. 246--><p class="noindent" ><span
mejores resultados que el mejor de los métodos de cálculo aplicado
class="ec-lmri-10">Un m</span><span
a un modelo mal concebido}
class="ec-lmri-10">étodo de c</span><span
\par\end{center}
class="ec-lmri-10">álculo aplicado a un buen modelo siempre dar</span><span
 
class="ec-lmri-10">á mejores resultados que el mejor de los m</span><span
\subsection{Estudio de un dominio}
class="ec-lmri-10">étodos de</span>
 
<span
\subsubsection{Hipótesis de \emph{constitución}}
class="ec-lmri-10">c</span><span
 
class="ec-lmri-10">álculo aplicado a un modelo mal concebido</span>
Los objetos que estudiaremos cumplen 3 condiciones:
</div>
\begin{itemize}
<!--l. 249--><p class="noindent" >
\item \textbf{\emph{Homogeneidad: }}Todos los puntos están formados por
<h4 class="subsectionHead"><span class="titlemark">1.5. </span> <a
el mismo material, es decir, se definen propiedades medias.
id="x1-90001.5"></a>Estudio de un dominio</h4>
\item \textbf{\emph{Continuidad: }}No tiene poros, ni defectos $\rightarrow$\textbf{SON
<!--l. 251--><p class="noindent" >
PERFECTOS} (los análisis están hechos desde el punto de vista macroscópico).
<h5 class="subsubsectionHead"><span class="titlemark">1.5.1. </span> <a
\item \textbf{\emph{Isotropía: }}Se comportan igual en todas las direcciones.
id="x1-100001.5.1"></a>Hipótesis de <span
\end{itemize}
class="ec-lmri-10">constituci</span><span
 
class="ec-lmri-10">ón</span></h5>
\subsubsection{Hipótesis de \emph{comportamiento}}
<!--l. 253--><p class="noindent" >Los objetos que estudiaremos cumplen 3 condiciones:
\begin{itemize}
<ul class="itemize1">
\item \textbf{\emph{Linealidad: }}Son desplazamientos con una relación lineal,
<li class="itemize"><span
se pueden representar de la forma $y=mx+b$.
class="ec-lmbxi-10">Homogeneidad: </span>Todos los puntos están formados por el mismo material, es decir, se definen propiedades
\item \textbf{\emph{Elasticidad: }}Si se cargan $\rightarrow$\textbf{se
medias.
deforman}, si de descargan $\rightarrow$\textbf{se recuperan.}
</li>
\item \textbf{\emph{Pequeñas deformaciones/desplazamientos: }}Movimientos
<li class="itemize"><span
cuasiestáticos, parten de una geometría inicial y después tiene desplazamientos
class="ec-lmbxi-10">Continuidad: </span>No tiene poros, ni defectos <span
sencillos.
class="lmsy-10">&#x2192;</span><span
\end{itemize}
class="ec-lmbx-10">SON PERFECTOS </span>(los análisis están hechos desde el punto
 
de vista macroscópico).
\subsubsection{Principio de \emph{superposición}}
</li>
 
<li class="itemize"><span
Si un dominio cumple las 3 hipótesis de comportamiento podemos aplicar
class="ec-lmbxi-10">Isotrop</span><span
el principio de superposición, lo cual se resume a decir que un problema
class="ec-lmbxi-10">ía: </span>Se comportan igual en todas las direcciones.</li></ul>
en el que intervienen varias fuerzas/reacciones se puede dividir en
<!--l. 262--><p class="noindent" >
la suma de las fuerzas actuando individualmente en el objeto.
<h5 class="subsubsectionHead"><span class="titlemark">1.5.2. </span> <a
\begin{center}
id="x1-110001.5.2"></a>Hipótesis de <span
\includegraphics[scale=0.4]{\string"Principio de superposición\string".png}
class="ec-lmri-10">comportamiento</span></h5>
\par\end{center}
<ul class="itemize1">
 
<li class="itemize"><span
\section{El tensor de tensiones (TT)}
class="ec-lmbxi-10">Linealidad: </span>Son desplazamientos con una relación lineal, se pueden representar de la forma <span
 
class="lmmi-10">y </span><span
Supongamos que tenemos un \textbf{\emph{patatoide}}, como sabemos
class="rm-lmr-10">= </span><span
está sometido a todo tipo de fuerzas, internas y externas, volumétricas,
class="lmmi-10">mx </span><span
superficiales, etc... para visualizar el \textbf{\emph{patatoide}}
class="rm-lmr-10">+ </span><span
cogemos un objeto de la vida real, una presa
class="lmmi-10">b</span>.
\begin{center}
</li>
\includegraphics[scale=0.4]{presa}
<li class="itemize"><span
\par\end{center}
class="ec-lmbxi-10">Elasticidad: </span>Si se cargan <span
 
class="lmsy-10">&#x2192;</span><span
Esta presa tiene varias fuerzas y reacciones, el peso de presa $\vec{\big(P\big)}$,
class="ec-lmbx-10">se deforman</span>, si de descargan <span
la fuerza/presión que ejerce el agua en la pared derecha, el peso
class="lmsy-10">&#x2192;</span><span
de los coches que tiene que soportar, la normal que ejerce el suelo
class="ec-lmbx-10">se recuperan.</span>
$\vec{\big(n\big)}$y dado que está en equilibrio \emph{dinámico }y
</li>
\emph{rotacional }se tienen que cumplir las ecuaciones $\sum {\vec{F}} = 0$
<li class="itemize"><span
y $\sum {\vec{M}} = 0$.
class="ec-lmbxi-10">Peque</span><span
\begin{center}
class="ec-lmbxi-10">ñas deformaciones/desplazamientos: </span>Movimientos cuasiestáticos, parten de una geometría inicial
\includegraphics[scale=0.4]{presa-reacciones}
y después tiene desplazamientos sencillos.</li></ul>
\par\end{center}
 
Esto lleva a preguntarnos \textbf{¿Qué ocurre en el interior? }ya
<!--l. 273--><p class="noindent" >
que la estructura soporta diversas fuerzas sin deformaciones aparentes...
<h5 class="subsubsectionHead"><span class="titlemark">1.5.3. </span> <a
 
id="x1-120001.5.3"></a>Principio de <span
Para el estudio vamos a escoger un punto, con coordenadas $(x,y,z)$,
class="ec-lmri-10">superposici</span><span
\textbf{sistema de referencia $xyz$}, que está dentro del sólido;
class="ec-lmri-10">ón</span></h5>
denotamos a dicho punto como $P$.
<!--l. 275--><p class="noindent" >Si un dominio cumple las 3 hipótesis de comportamiento podemos aplicar el principio de superposición, lo cual se resume a
\begin{center}
decir que un problema en el que intervienen varias fuerzas/reacciones se puede dividir en la suma de las fuerzas actuando
\includegraphics[scale=0.4]{\string"punto interno\string".png}
individualmente en el objeto.
\par\end{center}
<div class="center"
 
>
Por el punto $P$ haremos 3 cortes, el primero de ellos es por un
<!--l. 279--><p class="noindent" >
plano $xy$
<!--l. 280--><p class="noindent" ><img
\begin{center}
src="ResMat17x.png" alt="PIC" class="graphics"><!--tex4ht:graphics
\includegraphics[scale=0.4]{\string"corte xy\string".png}
name="ResMat17x.png" src="6C__Users_jorge_OneDrive_-_Universidad_de_M__la___ersidad_Apuntes_Principio_de_superposici__n.png"
\par\end{center}
-->
 
</div>
Recordamos lo visto en \textbf{\emph{teoría del corte}} por lo tanto
<!--l. 283--><p class="noindent" >
en el punto $P$ se genera un vector tensión en dirección $z$ definido
<h3 class="sectionHead"><span class="titlemark">2. </span> <a
id="x1-130002"></a>El tensor de tensiones (TT)</h3>
<!--l. 285--><p class="noindent" >Supongamos que tenemos un <span
class="ec-lmbxi-10">patatoide</span>, como sabemos está sometido a todo tipo de fuerzas, internas y
externas, volumétricas, superficiales, etc... para visualizar el <span
class="ec-lmbxi-10">patatoide </span>cogemos un objeto de la vida real, una
presa
<div class="center"
>
<!--l. 289--><p class="noindent" >
<!--l. 290--><p class="noindent" ><img
src="ResMat18x.png" alt="PIC" class="graphics"><!--tex4ht:graphics
name="ResMat18x.png" src="7C__Users_jorge_OneDrive_-_Universidad_de_M__laga_1_Universidad_Apuntes_presa.png"
-->
</div>
<!--l. 293--><p class="noindent" >Esta presa tiene varias fuerzas y reacciones, el peso de presa <img
src="ResMat19x.png" alt="(&#x20D7;P)" class="vec" >, la fuerza/presión que ejerce el agua en la pared derecha, el
peso de los coches que tiene que soportar, la normal que ejerce el suelo <img
src="ResMat20x.png" alt="(&#x20D7;n)" class="vec" >y dado que está en equilibrio <span
class="ec-lmri-10">din</span><span
class="ec-lmri-10">ámico </span>y
<span
class="ec-lmri-10">rotacional </span>se tienen que cumplir las ecuaciones <span
class="lmex-10">&#x2211;</span>
<img
src="ResMat21x.png" alt="F&#x20D7;" class="vec" > <span
class="rm-lmr-10">= 0 </span>y <span
class="lmex-10">&#x2211;</span>
<img
src="ResMat22x.png" alt="&#x20D7;M" class="vec" > <span
class="rm-lmr-10">= 0</span>.
<div class="center"
>
<!--l. 299--><p class="noindent" >
<!--l. 300--><p class="noindent" ><img
src="ResMat23x.png" alt="PIC" class="graphics"><!--tex4ht:graphics
name="ResMat23x.png" src="8C__Users_jorge_OneDrive_-_Universidad_de_M__laga_1_Universidad_Apuntes_presa-reacciones.png"
-->
</div>
<!--l. 303--><p class="noindent" >Esto lleva a preguntarnos <span
class="ec-lmbx-10">¿Qu</span><span
class="ec-lmbx-10">é ocurre en el interior? </span>ya que la estructura soporta diversas fuerzas sin deformaciones
aparentes...
<!--l. 306--><p class="noindent" >Para el estudio vamos a escoger un punto, con coordenadas <span
class="rm-lmr-10">(</span><span
class="lmmi-10">x,y,z</span><span
class="rm-lmr-10">)</span>, <span
class="ec-lmbx-10">sistema de referencia </span><span
class="lmmi-10">xyz</span>, que está dentro del
sólido; denotamos a dicho punto como <span
class="lmmi-10">P</span>.
<div class="center"
>
<!--l. 309--><p class="noindent" >
<!--l. 310--><p class="noindent" ><img
src="ResMat24x.png" alt="PIC" class="graphics"><!--tex4ht:graphics
name="ResMat24x.png" src="9C__Users_jorge_OneDrive_-_Universidad_de_M__laga_1_Universidad_Apuntes_punto_interno.png"
-->
</div>
<!--l. 313--><p class="noindent" >Por el punto <span
class="lmmi-10">P </span>haremos 3 cortes, el primero de ellos es por un plano <span
class="lmmi-10">xy</span>
<div class="center"
>
<!--l. 315--><p class="noindent" >
<!--l. 316--><p class="noindent" ><img
src="ResMat25x.png" alt="PIC" class="graphics"><!--tex4ht:graphics
name="ResMat25x.png" src="10C__Users_jorge_OneDrive_-_Universidad_de_M__laga_1_Universidad_Apuntes_corte_xy.png"
-->
</div>
<!--l. 319--><p class="noindent" >Recordamos lo visto en <span
class="ec-lmbxi-10">teor</span><span
class="ec-lmbxi-10">ía del corte </span>por lo tanto en el punto <span
class="lmmi-10">P </span>se genera un vector tensión en dirección <span
class="lmmi-10">z </span>definido
como:
<center class="par-math-display" >
 
<img
\[
src="ResMat26x.png" alt=" &#x0394;F
T_{z}=\lim_{\Delta S\rightarrow0}\dfrac{\Delta F}{\Delta S}
Tz = l´im ----
\]
&#x0394;S&#x2192;0 &#x0394;S
 
" class="par-math-display" ></center>
El segundo corte es por un plano $xz$
<!--l. 325--><p class="nopar" >
\begin{center}
<!--l. 327--><p class="noindent" >El segundo corte es por un plano <span
\includegraphics[scale=0.4]{\string"corte xz\string".png}
class="lmmi-10">xz</span>
\par\end{center}
<div class="center"
 
>
Se genera un vector tensión en dirección $y$ definido como:
<!--l. 328--><p class="noindent" >
 
<!--l. 329--><p class="noindent" ><img
\[
src="ResMat27x.png" alt="PIC" class="graphics"><!--tex4ht:graphics
T_{y}=\lim_{\Delta S\rightarrow0}\dfrac{\Delta F}{\Delta S}
name="ResMat27x.png" src="11C__Users_jorge_OneDrive_-_Universidad_de_M__laga_1_Universidad_Apuntes_corte_xz.png"
\]
-->
 
</div>
El tercer y último corte es por un $yz$
<!--l. 332--><p class="noindent" >Se genera un vector tensión en dirección <span
\begin{center}
class="lmmi-10">y </span>definido como:
\includegraphics[scale=0.4]{\string"corte yz\string".png}
<center class="par-math-display" >
\par\end{center}
<img
 
src="ResMat28x.png" alt="Ty = l´im &#x0394;F--
Lo cual genera un vector tensión en dirección $x$ y que se define
&#x0394;S&#x2192;0 &#x0394;S
como:
" class="par-math-display" ></center>
 
<!--l. 336--><p class="nopar" >
\[
<!--l. 338--><p class="noindent" >El tercer y último corte es por un <span
T_{x}=\lim_{\Delta S\rightarrow0}\dfrac{\Delta F}{\Delta S}
class="lmmi-10">yz</span>
\]
<div class="center"
 
>
Si representamos los 3 vectores obtenidos en el \textbf{sistema de
<!--l. 339--><p class="noindent" >
referencia $xyz$ }obtenemos los siguientes gráficos
<!--l. 340--><p class="noindent" ><img
\begin{center}
src="ResMat29x.png" alt="PIC" class="graphics"><!--tex4ht:graphics
\includegraphics[scale=0.4]{TT}
name="ResMat29x.png" src="12C__Users_jorge_OneDrive_-_Universidad_de_M__laga_1_Universidad_Apuntes_corte_yz.png"
\par\end{center}
-->
 
</div>
Los vectores $T_{x},T_{y},T_{z}$se pueden descomponer en sus respectivas
<!--l. 343--><p class="noindent" >Lo cual genera un vector tensión en dirección <span
componentes y estas componentes forman el tensor de tensiones (TT),
class="lmmi-10">x </span>y que se define como:
una matriz en la que se colocan por columna las componentes de cada
<center class="par-math-display" >
vector $T_{i}$.
<img
 
src="ResMat30x.png" alt="T = l´im &#x0394;F--
\[
x &#x0394;S&#x2192;0 &#x0394;S
T(x,y,z)=\begin{pmatrix}T_{xx} & T_{yx} & T_{zx}\\
" class="par-math-display" ></center>
T_{xy} & T_{yy} & T_{zy}\\
<!--l. 348--><p class="nopar" >
T_{xz} & T_{yz} & T_{zz}
<!--l. 350--><p class="noindent" >Si representamos los 3 vectores obtenidos en el <span
\end{pmatrix}
class="ec-lmbx-10">sistema de referencia </span><span
\]
class="lmmi-10">xyz </span>obtenemos los siguientes gráficos
 
<div class="center"
La representación gráfica de los 9 vectores no tiene sentido ni interés
>
práctico, por esta razón al punto $P$ lo transformamos en un cubo
<!--l. 352--><p class="noindent" >
(\emph{paralelepípedo} elemental) adimensional, el cual nos permite
<!--l. 353--><p class="noindent" ><img
ver el estado tensional en el entorno del punto.
src="ResMat31x.png" alt="PIC" class="graphics"><!--tex4ht:graphics
\begin{center}
name="ResMat31x.png" src="13C__Users_jorge_OneDrive_-_Universidad_de_M__laga_1_Universidad_Apuntes_TT.png"
\includegraphics[scale=0.3]{\string"tensor de tensiones\string".png}
-->
\par\end{center}
</div>
 
<!--l. 356--><p class="noindent" >Los vectores <span
\subsection{Otras notaciones}
class="lmmi-10">T</span><sub><span
 
class="lmmi-7">x</span></sub><span
El \textbf{TT }tiene otras notaciones para los $T_{ij}$que dependerá
class="lmmi-10">,T</span><sub><span
del autor y de lo que se quiera resaltar.
class="lmmi-7">y</span></sub><span
 
class="lmmi-10">,T</span><sub><span
\subsubsection{Notación sigma ($\sigma$)}
class="lmmi-7">z</span></sub>se pueden descomponer en sus respectivas componentes y estas componentes forman
 
el tensor de tensiones (TT), una matriz en la que se colocan por columna las componentes de cada vector
\[
<span
\sigma(x,y,z)=\begin{pmatrix}\sigma_{xx} & \sigma_{yx} & \sigma_{zx}\\
class="lmmi-10">T</span><sub><span
\sigma_{xy} & \sigma_{yy} & \sigma_{zy}\\
class="lmmi-7">i</span></sub>.
\sigma_{xz} & \sigma_{yz} & \sigma_{zz}
\end{pmatrix}
\]
<center class="par-math-display" >
 
<img
\begin{center}
src="ResMat32x.png" alt=" (Txx Tyx Tzx)
\includegraphics[scale=0.4]{\string"sigma TT\string".png}
T (x,y,z) = (Txy Tyy Tzy)
\par\end{center}
Txz Tyz Tzz
 
" class="par-math-display" ></center>
\subsubsection{Notación sigma ($\sigma$) y tau ($\tau$)}
<!--l. 366--><p class="nopar" >
 
<!--l. 368--><p class="noindent" >La representación gráfica de los 9 vectores no tiene sentido ni interés práctico, por esta razón al punto <span
\[
class="lmmi-10">P </span>lo transformamos
\sigma(x,y,z)=\begin{pmatrix}\sigma_{xx} & \tau_{yx} & \tau_{zx}\\
en un cubo (<span
\tau_{xy} & \sigma_{yy} & \tau_{zy}\\
class="ec-lmri-10">paralelep</span><span
\tau_{xz} & \tau_{yz} & \sigma_{zz}
class="ec-lmri-10">ípedo </span>elemental) adimensional, el cual nos permite ver el estado tensional en el entorno del
\end{pmatrix}
punto.
\]
<div class="center"
 
>
\begin{center}
<!--l. 372--><p class="noindent" >
\includegraphics[scale=0.4]{sigmatauTT}
<!--l. 373--><p class="noindent" ><img
\par\end{center}
src="ResMat33x.png" alt="PIC" class="graphics"><!--tex4ht:graphics
 
name="ResMat33x.png" src="14C__Users_jorge_OneDrive_-_Universidad_de_M__laga_1_Universidad_Apuntes_tensor_de_tensiones.png"
\textbf{Nota$_{1}$: }Las normales salientes a las caras coinciden
-->
con los ejes coordenados
</div>
\begin{center}
<!--l. 376--><p class="noindent" >
$\sigma_{ii}\geq0$
<h4 class="subsectionHead"><span class="titlemark">2.1. </span> <a
\par\end{center}
id="x1-140002.1"></a>Otras notaciones</h4>
 
<!--l. 378--><p class="noindent" >El <span
\textbf{Nota$_{2}$:} Como el \emph{paralelepípedo elemental} debe
class="ec-lmbx-10">TT </span>tiene otras notaciones para los <span
estar en equilibro las tensiones que se generan en un lado en una
class="lmmi-10">T</span><sub><span
cara del cubo, se van a generar en las caras ocultas para, no se grafican
class="lmmi-7">ij</span></sub>que dependerá del autor y de lo que se quiera resaltar.
por comodidad.
<!--l. 381--><p class="noindent" >
 
<h5 class="subsubsectionHead"><span class="titlemark">2.1.1. </span> <a
 
id="x1-150002.1.1"></a>Notación sigma (<span
\subsection{El vector tensión: Componentes intrínsecas}
class="lmmi-10">&#x03C3;</span>)</h5>
 
<center class="par-math-display" >
El vector tensión puede representarse como sus componente intrínsecas,
<img
si observamos la matriz con notación $\sigma$ y $\tau$, el vector
src="ResMat34x.png" alt=" ( )
$\sigma_{ii}$siempre es normal a la cara del \emph{paralelepípedo
&#x03C3;xx &#x03C3;yx &#x03C3;zx
elemental, }y los vectores $\tau_{ij}$son tangentes al plano, esto
&#x03C3;(x,y,z) = (&#x03C3;xy &#x03C3;yy &#x03C3;zy)
nos permite hallar $\tau$ y obtenemos los vectores $\sigma\tau$
&#x03C3;xz &#x03C3;yz &#x03C3;zz
que son las componente intrínsecas del vector tensión.
" class="par-math-display" ></center>
\begin{center}
<!--l. 388--><p class="nopar" >
\includegraphics[scale=0.4]{\string"componentes intrísecas\string".png}
\par\end{<div class="center}"
>
 
<!--l. 390--><p class="noindent" >
Esto nos permite hallar el módulo de la tensión usando el \textbf{Teorema
<!--l. 391--><p class="noindent" ><img
de Pitágoras}.
src="ResMat35x.png" alt="PIC" class="graphics"><!--tex4ht:graphics
\[
name="ResMat35x.png" src="15C__Users_jorge_OneDrive_-_Universidad_de_M__laga_1_Universidad_Apuntes_sigma_TT.png"
\big|T\big|=\sqrt{\sigma^{2}+\tau^{2}}
-->
\]
</div>
 
<!--l. 394--><p class="noindent" >
Conocidas las componentes intrínsecas del vector tensión no podemos
<h5 class="subsubsectionHead"><span class="titlemark">2.1.2. </span> <a
determinar ni la dirección ni el sentido
id="x1-160002.1.2"></a>Notación sigma (<span
 
class="lmmi-10">&#x03C3;</span>) y tau (<span
\subsection{Equilibrio interno}
class="lmmi-10">&#x03C4;</span>)</h5>
 
<center class="par-math-display" >
Supongamos que tenemos un \textbf{\emph{patatoide, }}este está sometido
<img
a fuerzas (superficiales, volumétricas, internas, etc...) tomamos
src="ResMat36x.png" alt=" (&#x03C3; &#x03C4; &#x03C4; )
un elemento de volumen diferencial, un cubo formado por dos vértices
&#x03C3;(x,y,z) = (&#x03C4;xx &#x03C3;yx &#x03C4;zx)
opuestos como $Q(x+dx,y + dy, z + dz)$ y $P(x,y,z)$.
&#x03C4;xy &#x03C4;yy &#x03C3;zy
\begin{center}
xz yz zz
\includegraphics[scale=0.4]{\string"diferencial de volumen\string".png}
\" class="par\end{-math-display" ></center}>
<!--l. 401--><p class="nopar" >
 
El volumen de diferencial que hemos cogido tiene 6 caras por lo tanto
tiene 21 fuerzas, 9 fuerzas tensionales respecto de Q, 9 fuerzas tensionales
<div class="center"
respecto de P y 3 fuerzas que son componentes de la fuerza volumétrica
>
de la gravedad, como podemos observar en las siguiente imagen.
<!--l. 403--><p class="noindent" >
\begin{center}
<!--l. 404--><p class="noindent" ><img
\includegraphics[scale=0.5]{\string"respecto Q\string".png}\includegraphics[scale=0.5]{\string"respecto P\string".png}\includegraphics[scale=0.7]{cdg}
src="ResMat37x.png" alt="PIC" class="graphics"><!--tex4ht:graphics
\par\end{center}
name="ResMat37x.png" src="16C__Users_jorge_OneDrive_-_Universidad_de_M__laga_1_Universidad_Apuntes_sigmatauTT.png"
 
-->
Internamente el volumen debe estar en equilibrio dinámico y rotacional,
</div>
es por ello que la $\sum \vec{F} = 0$ y $\sum \vec{M} = 0$.
<!--l. 407--><p class="noindent" ><span
 
class="ec-lmbx-10">Nota</span><sub><span
\[
class="rm-lmr-7">1</span></sub><span
\sum\vec{F}=0
class="ec-lmbx-10">: </span>Las normales salientes a las caras coinciden con los ejes coordenados
\]
<div class="center"
 
>
\[
<!--l. 409--><p class="noindent" >
\sum F_{x}=0,\sum F_{y}=0,\sum F_{z}=0
<!--l. 410--><p class="noindent" ><span
\]
class="lmmi-10">&#x03C3;</span><sub><span
 
class="lmmi-7">ii</span></sub> <span
\[
class="lmsy-10">&#x2265; </span><span
\sigma_{xx}(Q)dydz+\tau_{yx}(Q)dxdz+\tau_{zx}(Q)dxdy-\big(\sigma_{xx}(P)dydz+\tau_{yx}(P)dxdz+\tau_{zx}(P)dxdy\big)+Xdxdydz=0
class="rm-lmr-10">0</span>
\]
</div>
 
<!--l. 413--><p class="noindent" ><span
\textbf{Nota: }Las tensiones se multiplican por un diferencial de
class="ec-lmbx-10">Nota</span><sub><span
área porque una tensión tiene como unidad $\dfrac{Fuerza}{\acute{A}rea}$
class="rm-lmr-7">2</span></sub><span
y el equilibrio se hace con las fuerzas.
class="ec-lmbx-10">: </span>Como el <span
 
class="ec-lmri-10">paralelep</span><span
\textbf{Nota: }La fuerza volumétrica se multiplica por un diferencial
class="ec-lmri-10">ípedo elemental </span>debe estar en equilibro las tensiones que se generan en un lado en una cara del
de volumen precisamente porque es la fuerza por unidad de volumen.
cubo, se van a generar en las caras ocultas para, no se grafican por comodidad.
 
<!--l. 419--><p class="noindent" >
\[
<h4 class="subsectionHead"><span class="titlemark">2.2. </span> <a
\sum\vec{F_{x}}=0\text{\ensuremath{\Longrightarrow}\ensuremath{\dfrac{\partial\sigma_{xx}}{\partial x}+\dfrac{\partial\tau_{yx}}{\partial y}+\dfrac{\partial\tau_{zx}}{\partial z}+X=0}}
id="x1-170002.2"></a>El vector tensión: Componentes intrínsecas</h4>
\]
<!--l. 421--><p class="noindent" >El vector tensión puede representarse como sus componente intrínsecas, si observamos la matriz con notación <span
 
class="lmmi-10">&#x03C3; </span>y
\[
<span
\sum\vec{F_{y}}=0\text{\ensuremath{\Longrightarrow}\ensuremath{\dfrac{\partial\tau_{xy}}{\partial x}+\dfrac{\partial\sigma_{yy}}{\partial y}+\dfrac{\partial\tau_{zy}}{\partial z}+Y=0}}
class="lmmi-10">&#x03C4;</span>, el vector <span
\]
class="lmmi-10">&#x03C3;</span><sub><span
 
class="lmmi-7">ii</span></sub>siempre es normal a la cara del <span
\[
class="ec-lmri-10">paralelep</span><span
\sum\vec{F_{z}}=0\text{\ensuremath{\Longrightarrow}\ensuremath{\dfrac{\partial\tau_{xz}}{\partial x}+\dfrac{\partial\tau_{yz}}{\partial y}+\dfrac{\partial\sigma_{zz}}{\partial z}+Z=0}}
class="ec-lmri-10">ípedo elemental, </span>y los vectores <span
\]
class="lmmi-10">&#x03C4;</span><sub><span
 
class="lmmi-7">ij</span></sub>son tangentes al
Ahora tenemos que analizar el equilibrio rotacional
plano, esto nos permite hallar <span
 
class="lmmi-10">&#x03C4; </span>y obtenemos los vectores <span
\[
class="lmmi-10">&#x03C3;&#x03C4; </span>que son las componente intrínsecas del vector
\sum\vec{M}=0
tensión.
\]
<div class="center"
 
>
\[
<!--l. 427--><p class="noindent" >
\sum M_{x}=0,\sum M_{y}=0,\sum M_{z}=0
<!--l. 428--><p class="noindent" ><img
\]
src="ResMat38x.png" alt="PIC" class="graphics"><!--tex4ht:graphics
 
name="ResMat38x.png" src="17C__Users_jorge_OneDrive_-_Universidad_de_M__l___Universidad_Apuntes_componentes_intr__secas.png"
En el estudio de momentos podemos eliminar fuerzas que no producen
-->
momento; las fuerzas $\sigma_{xx},\tau_{xz},\tau_{xy}$son descartadas
</div>
porque no producen momento en la dirección del eje $x$, todo debe
<!--l. 431--><p class="noindent" >Esto nos permite hallar el módulo de la tensión usando el <span
analizarse como si el cubo rotara en dicha dirección,
class="ec-lmbx-10">Teorema de Pit</span><span
 
class="ec-lmbx-10">ágoras</span>.
 
<center class="math-display" >
\section{Preguntas/dudas}
<img
 
src="ResMat39x.png" alt=" &#x2218; -------
\textbf{\textcolor{red}{Pregunta: ¿Con los ejes coordenados significa
|T | = &#x03C3;2 + &#x03C4;2
que con el sistema de referencia también?}}
" class="math-display" ></center>
 
<!--l. 435--><p class="nopar" >
\textbf{\textcolor{red}{Pregunta: ¿Nombre de $\sigma$ y $\tau$ cizalladura
<!--l. 437--><p class="noindent" >Conocidas las componentes intrínsecas del vector tensión no podemos determinar ni la dirección ni el sentido
tensión?}}
<!--l. 440--><p class="noindent" >
 
<h4 class="subsectionHead"><span class="titlemark">2.3. </span> <a
\textbf{\textcolor{red}{Pregunta: ¿Equilibrio interno de dónde sale
id="x1-180002.3"></a>Equilibrio interno</h4>
la fuerza volumétrica (centro de gravedad --> fuerza gravitatoria)?}}
<!--l. 442--><p class="noindent" >Supongamos que tenemos un <span
 
class="ec-lmbxi-10">patatoide, </span>este está sometido a fuerzas (superficiales, volumétricas, internas, etc...) tomamos
\textbf{Respuesta: }Lo he pensado un par de minutos y supongo que
un elemento de volumen diferencial, un cubo formado por dos vértices opuestos como <span
sí ya que es un equilibrio interno del sólido
class="lmmi-10">Q</span><span
 
class="rm-lmr-10">(</span><span
 
class="lmmi-10">x </span><span
\end{document}
class="rm-lmr-10">+ </span><span
class="lmmi-10">dx,y </span><span
class="rm-lmr-10">+ </span><span
class="lmmi-10">dy,z </span><span
class="rm-lmr-10">+ </span><span
class="lmmi-10">dz</span><span
class="rm-lmr-10">) </span>y
<span
class="lmmi-10">P</span><span
class="rm-lmr-10">(</span><span
class="lmmi-10">x,y,z</span><span
class="rm-lmr-10">)</span>.
<div class="center"
>
<!--l. 446--><p class="noindent" >
<!--l. 447--><p class="noindent" ><img
src="ResMat40x.png" alt="PIC" class="graphics"><!--tex4ht:graphics
name="ResMat40x.png" src="18C__Users_jorge_OneDrive_-_Universidad_de_M__laga_1_Universidad_Apuntes_diferencial_de_volumen.png"
-->
</div>
<!--l. 450--><p class="noindent" >El volumen de diferencial que hemos cogido tiene 6 caras por lo tanto tiene 21 fuerzas, 9 fuerzas tensionales respecto de Q, 9
fuerzas tensionales respecto de P y 3 fuerzas que son componentes de la fuerza volumétrica de la gravedad, como podemos
observar en las siguiente imagen.
<div class="center"
>
<!--l. 454--><p class="noindent" >
<!--l. 455--><p class="noindent" ><img
src="ResMat41x.png" alt="PIC" class="graphics"><!--tex4ht:graphics
name="ResMat41x.png" src="19C__Users_jorge_OneDrive_-_Universidad_de_M__laga_1_Universidad_Apuntes_respecto_Q.png"
--><img
src="ResMat42x.png" alt="PIC" class="graphics"><!--tex4ht:graphics
name="ResMat42x.png" src="20C__Users_jorge_OneDrive_-_Universidad_de_M__laga_1_Universidad_Apuntes_respecto_P.png"
--><img
src="ResMat43x.png" alt="PIC" class="graphics"><!--tex4ht:graphics
name="ResMat43x.png" src="21C__Users_jorge_OneDrive_-_Universidad_de_M__laga_1_Universidad_Apuntes_cdg.png"
-->
</div>
<!--l. 458--><p class="noindent" >Internamente el volumen debe estar en equilibrio dinámico y rotacional, es por ello que la <span
class="lmex-10">&#x2211;</span>
<img
src="ResMat44x.png" alt="&#x20D7;F" class="vec" > <span
class="rm-lmr-10">= 0 </span>y <span
class="lmex-10">&#x2211;</span>
<img
src="ResMat45x.png" alt="&#x20D7;M" class="vec" > <span
class="rm-lmr-10">= 0</span>.
<center class="par-math-display" >
<img
src="ResMat46x.png" alt="&#x2211;
F&#x20D7; = 0
" class="par-math-display" ></center>
<!--l. 463--><p class="nopar" >
<center class="par-math-display" >
<img
src="ResMat47x.png" alt="&#x2211; &#x2211; &#x2211;
Fx = 0, Fy = 0, Fz = 0
" class="par-math-display" ></center>
<!--l. 467--><p class="nopar" >
<center class="par-math-display" >
<img
src="ResMat48x.png" alt="&#x03C3;xx(Q)dydz + &#x03C4;yx(Q)dxdz + &#x03C4;zx(Q )dxdy- (&#x03C3;xx(P )dydz + &#x03C4;yx(P )dxdz + &#x03C4;zx(P )dxdy )+ Xdxdydz = 0
" class="par-math-display" ></center>
<!--l. 471--><p class="nopar" >
<!--l. 473--><p class="noindent" ><span
class="ec-lmbx-10">Nota: </span>Las tensiones se multiplican por un diferencial de área porque una tensión tiene como unidad <img
src="ResMat49x.png" alt="Fuerza-
´Area" > y el equilibrio
se hace con las fuerzas.
<!--l. 477--><p class="noindent" ><span
class="ec-lmbx-10">Nota: </span>La fuerza volumétrica se multiplica por un diferencial de volumen precisamente porque es la fuerza por unidad de
volumen.
<center class="par-math-display" >
<img
src="ResMat50x.png" alt="&#x2211; &#x2202;&#x03C3;xx &#x2202;&#x03C4;yx &#x2202; &#x03C4;zx
F&#x20D7;x = 0=&#x21D2; -&#x2202;x--+ -&#x2202;y-+ -&#x2202;z- + X = 0
" class="par-math-display" ></center>
<!--l. 482--><p class="nopar" >
<center class="par-math-display" >
<img
src="ResMat51x.png" alt="&#x2211; F&#x20D7; = 0=&#x21D2; &#x2202;&#x03C4;xy + &#x2202;&#x03C3;yy+ &#x2202;-&#x03C4;zy + Y = 0
y &#x2202;x &#x2202;y &#x2202;z
" class="par-math-display" ></center>
<!--l. 486--><p class="nopar" >
<center class="par-math-display" >
<img
src="ResMat52x.png" alt="&#x2211; &#x2202;&#x03C4; &#x2202;&#x03C4; &#x2202;&#x03C3;
F&#x20D7;z = 0=&#x21D2; --xz + --yz+ --zz + Z = 0
&#x2202;x &#x2202;y &#x2202;z
" class="par-math-display" ></center>
<!--l. 490--><p class="nopar" >
<!--l. 492--><p class="noindent" >Ahora tenemos que analizar el equilibrio rotacional
<center class="par-math-display" >
<img
src="ResMat53x.png" alt="&#x2211; &#x20D7;
M = 0
" class="par-math-display" ></center>
<!--l. 496--><p class="nopar" >
<center class="par-math-display" >
<img
src="ResMat54x.png" alt="&#x2211; &#x2211; &#x2211;
Mx = 0, My = 0, Mz = 0
" class="par-math-display" ></center>
<!--l. 500--><p class="nopar" >
<!--l. 502--><p class="noindent" >En el estudio de momentos podemos eliminar fuerzas que no producen momento; las fuerzas <span
class="lmmi-10">&#x03C3;</span><sub><span
class="lmmi-7">xx</span></sub><span
class="lmmi-10">,&#x03C4;</span><sub><span
class="lmmi-7">xz</span></sub><span
class="lmmi-10">,&#x03C4;</span><sub><span
class="lmmi-7">xy</span></sub>son descartadas
porque no producen momento en la dirección del eje <span
class="lmmi-10">x</span>, todo debe analizarse como si el cubo rotara en dicha
dirección,
<!--l. 508--><p class="noindent" >
<h3 class="sectionHead"><span class="titlemark">3. </span> <a
id="x1-190003"></a>Preguntas/dudas</h3>
<!--l. 511--><p class="noindent" ><span id="textcolor1"><span
class="ec-lmbx-10">Pregunta: ¿Con los ejes coordenados significa que con el sistema de referencia tambi</span><span
class="ec-lmbx-10">én?</span></span>
<!--l. 514--><p class="noindent" ><span id="textcolor2"><span
class="ec-lmbx-10">Pregunta: ¿Nombre de </span><span
class="lmmi-10">&#x03C3; </span><span
class="ec-lmbx-10">y </span><span
class="lmmi-10">&#x03C4; </span><span
class="ec-lmbx-10">cizalladura tensi</span><span
class="ec-lmbx-10">ón?</span></span>
<!--l. 517--><p class="noindent" ><span id="textcolor3"><span
class="ec-lmbx-10">Pregunta: ¿Equilibrio interno de d</span><span
class="ec-lmbx-10">ónde sale la fuerza volum</span><span
class="ec-lmbx-10">étrica (centro de gravedad &#8211;&#x003E; fuerza</span>
<span
class="ec-lmbx-10">gravitatoria)?</span></span>
<!--l. 519--><p class="noindent" ><span
class="ec-lmbx-10">Respuesta: </span>Lo he pensado un par de minutos y supongo que sí ya que es un equilibrio interno del sólido
</body></html>