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\begin{document} \title{Resistencia de materiales} \author{Jorge Benavides Macías}

\maketitle \tableofcontents{}

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\section{Introducción a la elasticidad y a la resistencia de materiales}

En el análisis elástico, elasticidad, tenemos un \textbf{\emph{patatoide }}(domino o cuerpo sobre el que se hace el análisis), este \textbf{\emph{patatoide}} estás sometido a cierto tipo de acciones, ya sean superficiales o volumétricas, que producen un desplazamiento o son contrarias a un desplazamiento que el objeto tenía desde el principio.

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\textbf{\emph{Definiciones}} \begin{itemize} \item \emph{Dominio: }Es un sólido con una forma $x$ genérica, que tiene que ser \emph{resistente} a una serie de acciones (todo aquello que ataque el dominio) \item \emph{Fuerzas} \begin{itemize} \item \textbf{Puntuales: }Un ejemplo sería el dedo sobre la mesa ya que comparado con el tamaño de la mesa es un punto en la superficie un diferencial. \item \textbf{Superficiales: }Cuando estamos sentados sobre la silla, nuestro cuerpo ejerce una fuerza superficial sobre la madera. \item \textbf{Volumen: }La gravedad es una fuerza volumétrica ya que atrae a los cuerpos hacia el centro de la tierra, la fuerza electromagnética también \textbf{podría ser} considerada una fuerza volumétrica (\emph{depende del campo que genere la fuerza}). \end{itemize} \end{itemize} \begin{center} \textbf{Objetivo} \par\end{center}

\begin{center} \emph{Garantizar que el dominio soporta las acciones }\textbf{\emph{en unas condiciones concretas, }}\emph{realizando modelos simplificados de cálculo (relaciones de causa-efecto)} \par\end{center}

Debemos realizar este tipo de estudios considerando hipótesis de comportamiento, ejemplo: \begin{itemize} \item Modelo rígido $\rightarrow$ no se deforma \item Modelo elástico $\rightarrow$ se deforma y se recupera \item $\vdots$ \item Modelo plástico $\rightarrow$se deforma y no se recupera \end{itemize}

\subsection{Teoría del corte}

Supongamos que tenemos \textbf{\emph{tiza}} horizontal en el plano $xy$, y realizamos un corte \emph{imaginario} en el punto medio con el plano $x=n$, obtenemos algo similar a esto \begin{center} \includegraphics[scale=0.4]{\string"teoría del corte\string".png} \par\end{center}

Aplicando algo de lógica podemos deducir las fuerzas y momentos resultantes, la \textbf{tiza }estaba en equilibrio \emph{dinámico, }esto quiere decir que no se movía ni hacia arriba, ni hacia abajo ni en ningún sentido, como resultado el punto medio cumplía la ecuación $\sum\limits_{i}\vec{F}_i = 0$ es decir que la fuerza que unía al punto medio con su diferencial del punto medio en el otro extremo tenía una fuerza de igual magnitud y opuesta; no obstante esta ecuación es condición necesaria pero no suficiente para generar el equilibrio, también debe cumplir la ecuación de equilibro \emph{rotacional }$\sum\limits_{i}\vec{M}_i = 0$, las fuerzas generan un momento pero esto son anulados porque las fuerzas son inversas.

\subsubsection{¿De dónde surgen las fuerzas y los momentos internos que actúan en una sección?}

El material sólido del que está fabricado un elemento mecánico es continuo, de forma que la acción de las cargas externas se transmite de punto a punto del elemento. Cuando se divide el elemento por un plano se rompe esta continuidad \emph{en cada punto }de las sección de corte. En consecuencia, en cada punto \emph{P} aparece una fuerza interna igual y contraria a cada lado del plano del corte.

\bigskip

La fuerza interna que actúa sobre cada punto \emph{P} de una sección imaginaria de un sólido se conoce como \emph{tensión }o \emph{esfuerzo} en el punto.

\bigskip

\subsection{\protect\href{https://es.wikipedia.org/wiki/Tensi\%C3\%B3n_mec\%C3\%A1nica\#Principio_de_Cauchy}{Tensión mecánica}}

Es la magnitud física que representa la fuerza por unidad de área en el entorno de un punto material sobre una superficie real o imaginaria de un \textbf{medio continuo. }

\subsubsection{Definición matemática de la tensión en un punto}

Supongamos que cortamos un elemento cargado por el plano $\pi$ (identificado por un vector normal, $\vec{n}$). En la parte $E_{1}$estudiaremos la superficie del corte, que se ha dividido en parcelas pequeñas. Vamos a fijarnos en una de ellas, $S_{p}$, cuyo centro de presiones es el punto $P$. La fuerza interna resultante, es $\vec{F_{p}}$, sobre la parcela será la suma de las tensiones o fuerzas internas existentes en cada uno de los puntos. \begin{center} \includegraphics[scale=0.4]{diagrama-fuerzas-internas} \par\end{center}

Si hacemos el cociente entre la fuerza existente y el área de la parcela, al ser esta muy pequeña obtenemos un parámetro que nos dará una idea del nivel de tensión que están soportando sus puntos:

\[ \vec{f_{p}}=\dfrac{\vec{F}_{p}}{S_{p}} \]

Si hacemos más pequeña la parcela entorno al punto $P$, el valor de la fuerza resultante irá variando, tendiendo hacia el valor que realmente hay en el punto \emph{P:}

\[ \vec{\sigma}=\lim_{S_{p}\rightarrow0}\dfrac{\vec{F}_{p}}{S_{p}}=T \]

Ese valor límite es denominado\emph{ tensión }en un punto $P$, $\vec{\sigma}_{p}$, y es la presión interna media que actúa en una superficie muy pequeña en torno al punto. Como se puede apreciar, la tensión es una fuerza por unidad de superficie y, por tanto, es una magnitud \emph{vectorial}. \begin{center} \textbf{Unidades} \par\end{center}

\begin{center} \[ \dfrac{Fuerza}{Superficie}\Biggl[\dfrac{N}{m^{2}},MPa\bigg(10^{6}\dfrac{N}{m^{2}}\bigg)=\dfrac{N}{mm^{2}},\dfrac{kg}{cm^{2}}\Biggr] \] \par\end{center}

\subsection{Deformación}

La deformación es un concepto ligado al desplazamiento relativo a dos puntos del domino. Hay 3 tipos de deformación \emph{entorno a un punto.} \begin{center} \includegraphics[scale=0.4]{\string"Normal xy\string".png} \par\end{center}

\begin{center} \emph{Dominio Inicial} \par\end{center} \begin{itemize} \item \textbf{Deformación en dirección $x$:} Sufren un crecimiento o decrecimiento en la dirección $x$. \end{itemize} \begin{center} \includegraphics[scale=0.4]{\string"deformación en x\string".png} \par\end{center} \begin{itemize} \item \textbf{Deformación en dirección $y$: }Sufre un crecimiento o decrecimiento en la dirección $y$. \end{itemize} \begin{center} \includegraphics[scale=0.4]{\string"deformación en y\string".png} \par\end{center} \begin{itemize} \item \textbf{Deformación angular: }Los ángulos internos del dominio crecen o decrecen. \end{itemize} \begin{center} \includegraphics[scale=0.4]{\string"deformación en angular\string".png} \par\end{center}

\subsection{Equilibro estático vs. equilibrio elástico}

El principio del corte se divide en dos tipos de acciones que puede tener un sólido. \begin{itemize} \item Acciones (\emph{Fuerzas}) externas: \begin{itemize} \item Fuerzas \item Momentos \item Temperatura \item Desplazamientos (sismo) \item $...$ \end{itemize} \item Solicitaciones (\emph{Fuerzas}) internas: \begin{itemize} \item Tensiones \item Deformaciones \item Esfuerzos \end{itemize} \end{itemize} El conjunto de fuerzas internas debe concordar con el equilibro \emph{dinámico} es decir debe cumplir que $\sum {\vec{F}} = 0$ y $\sum {\vec{M}} = 0$ para cada parte del dominio.

\begin{center} \emph{Un método de cálculo aplicado a un buen modelo siempre dará mejores resultados que el mejor de los métodos de cálculo aplicado a un modelo mal concebido} \par\end{center}

\subsection{Estudio de un dominio}

\subsubsection{Hipótesis de \emph{constitución}}

Los objetos que estudiaremos cumplen 3 condiciones: \begin{itemize} \item \textbf{\emph{Homogeneidad: }}Todos los puntos están formados por el mismo material, es decir, se definen propiedades medias. \item \textbf{\emph{Continuidad: }}No tiene poros, ni defectos $\rightarrow$\textbf{SON PERFECTOS} (los análisis están hechos desde el punto de vista macroscópico). \item \textbf{\emph{Isotropía: }}Se comportan igual en todas las direcciones. \end{itemize}

\subsubsection{Hipótesis de \emph{comportamiento}} \begin{itemize} \item \textbf{\emph{Linealidad: }}Son desplazamientos con una relación lineal, se pueden representar de la forma $y=mx+b$. \item \textbf{\emph{Elasticidad: }}Si se cargan $\rightarrow$\textbf{se deforman}, si de descargan $\rightarrow$\textbf{se recuperan.} \item \textbf{\emph{Pequeñas deformaciones/desplazamientos: }}Movimientos cuasiestáticos, parten de una geometría inicial y después tiene desplazamientos sencillos. \end{itemize}

\subsubsection{Principio de \emph{superposición}}

Si un dominio cumple las 3 hipótesis de comportamiento podemos aplicar el principio de superposición, lo cual se resume a decir que un problema en el que intervienen varias fuerzas/reacciones se puede dividir en la suma de las fuerzas actuando individualmente en el objeto. \begin{center} \includegraphics[scale=0.4]{\string"Principio de superposición\string".png} \par\end{center}

\section{El tensor de tensiones (TT)}

Supongamos que tenemos un \textbf{\emph{patatoide}}, como sabemos está sometido a todo tipo de fuerzas, internas y externas, volumétricas, superficiales, etc... para visualizar el \textbf{\emph{patatoide}} cogemos un objeto de la vida real, una presa \begin{center} \includegraphics[scale=0.4]{presa} \par\end{center}

Esta presa tiene varias fuerzas y reacciones, el peso de presa $\vec{\big(P\big)}$, la fuerza/presión que ejerce el agua en la pared derecha, el peso de los coches que tiene que soportar, la normal que ejerce el suelo $\vec{\big(n\big)}$y dado que está en equilibrio \emph{dinámico }y \emph{rotacional }se tienen que cumplir las ecuaciones $\sum {\vec{F}} = 0$ y $\sum {\vec{M}} = 0$. \begin{center} \includegraphics[scale=0.4]{presa-reacciones} \par\end{center}

Esto lleva a preguntarnos \textbf{¿Qué ocurre en el interior? }ya que la estructura soporta diversas fuerzas sin deformaciones aparentes...

Para el estudio vamos a escoger un punto, con coordenadas $(x,y,z)$, \textbf{sistema de referencia $xyz$}, que está dentro del sólido; denotamos a dicho punto como $P$. \begin{center} \includegraphics[scale=0.4]{\string"punto interno\string".png} \par\end{center}

Por el punto $P$ haremos 3 cortes, el primero de ellos es por un plano $xy$ \begin{center} \includegraphics[scale=0.4]{\string"corte xy\string".png} \par\end{center}

Recordamos lo visto en \textbf{\emph{teoría del corte}} por lo tanto en el punto $P$ se genera un vector tensión en dirección $z$ definido como:

\[ T_{z}=\lim_{\Delta S\rightarrow0}\dfrac{\Delta F}{\Delta S} \]

El segundo corte es por un plano $xz$ \begin{center} \includegraphics[scale=0.4]{\string"corte xz\string".png} \par\end{center}

Se genera un vector tensión en dirección $y$ definido como:

\[ T_{y}=\lim_{\Delta S\rightarrow0}\dfrac{\Delta F}{\Delta S} \]

El tercer y último corte es por un $yz$ \begin{center} \includegraphics[scale=0.4]{\string"corte yz\string".png} \par\end{center}

Lo cual genera un vector tensión en dirección $x$ y que se define como:

\[ T_{x}=\lim_{\Delta S\rightarrow0}\dfrac{\Delta F}{\Delta S} \]

Si representamos los 3 vectores obtenidos en el \textbf{sistema de referencia $xyz$ }obtenemos los siguientes gráficos \begin{center} \includegraphics[scale=0.4]{TT} \par\end{center}

Los vectores $T_{x},T_{y},T_{z}$se pueden descomponer en sus respectivas componentes y estas componentes forman el tensor de tensiones (TT), una matriz en la que se colocan por columna las componentes de cada vector $T_{i}$.

\[ T(x,y,z)=\begin{pmatrix}T_{xx} & T_{yx} & T_{zx}\\ T_{xy} & T_{yy} & T_{zy}\\ T_{xz} & T_{yz} & T_{zz} \end{pmatrix} \]

La representación gráfica de los 9 vectores no tiene sentido ni interés práctico, por esta razón al punto $P$ lo transformamos en un cubo (\emph{paralelepípedo} elemental) adimensional, el cual nos permite ver el estado tensional en el entorno del punto. \begin{center} \includegraphics[scale=0.3]{\string"tensor de tensiones\string".png} \par\end{center}

\subsection{Otras notaciones}

El \textbf{TT }tiene otras notaciones para los $T_{ij}$que dependerá del autor y de lo que se quiera resaltar.

\subsubsection{Notación sigma ($\sigma$)}

\[ \sigma(x,y,z)=\begin{pmatrix}\sigma_{xx} & \sigma_{yx} & \sigma_{zx}\\ \sigma_{xy} & \sigma_{yy} & \sigma_{zy}\\ \sigma_{xz} & \sigma_{yz} & \sigma_{zz} \end{pmatrix} \]

\begin{center} \includegraphics[scale=0.4]{\string"sigma TT\string".png} \par\end{center}

\subsubsection{Notación sigma ($\sigma$) y tau ($\tau$)}

\[ \sigma(x,y,z)=\begin{pmatrix}\sigma_{xx} & \tau_{yx} & \tau_{zx}\\ \tau_{xy} & \sigma_{yy} & \tau_{zy}\\ \tau_{xz} & \tau_{yz} & \sigma_{zz} \end{pmatrix} \]

\begin{center} \includegraphics[scale=0.4]{sigmatauTT} \par\end{center}

\textbf{Nota$_{1}$: }Las normales salientes a las caras coinciden con los ejes coordenados \begin{center} $\sigma_{ii}\geq0$ \par\end{center}

\textbf{Nota$_{2}$:} Como el \emph{paralelepípedo elemental} debe estar en equilibro las tensiones que se generan en un lado en una cara del cubo, se van a generar en las caras ocultas para, no se grafican por comodidad.

\subsection{El vector tensión: Componentes intrínsecas}

El vector tensión puede representarse como sus componente intrínsecas, si observamos la matriz con notación $\sigma$ y $\tau$, el vector $\sigma_{ii}$siempre es normal a la cara del \emph{paralelepípedo elemental, }y los vectores $\tau_{ij}$son tangentes al plano, esto nos permite hallar $\tau$ y obtenemos los vectores $\sigma\tau$ que son las componente intrínsecas del vector tensión. \begin{center} \includegraphics[scale=0.4]{\string"componentes intrísecas\string".png} \par\end{center}

Esto nos permite hallar el módulo de la tensión usando el \textbf{Teorema de Pitágoras}. \[ \big|T\big|=\sqrt{\sigma^{2}+\tau^{2}} \]

Conocidas las componentes intrínsecas del vector tensión no podemos determinar ni la dirección ni el sentido

\subsection{Equilibrio interno}

Supongamos que tenemos un \textbf{\emph{patatoide, }}este está sometido a fuerzas (superficiales, volumétricas, internas, etc...) tomamos un elemento de volumen diferencial, un cubo formado por dos vértices opuestos como $Q(x+dx,y + dy, z + dz)$ y $P(x,y,z)$. \begin{center} \includegraphics[scale=0.4]{\string"diferencial de volumen\string".png} \par\end{center}

El volumen de diferencial que hemos cogido tiene 6 caras por lo tanto tiene 21 fuerzas, 9 fuerzas tensionales respecto de Q, 9 fuerzas tensionales respecto de P y 3 fuerzas que son componentes de la fuerza volumétrica de la gravedad, como podemos observar en las siguiente imagen. \begin{center} \includegraphics[scale=0.5]{\string"respecto Q\string".png}\includegraphics[scale=0.5]{\string"respecto P\string".png}\includegraphics[scale=0.7]{cdg} \par\end{center}

Internamente el volumen debe estar en equilibrio dinámico y rotacional, es por ello que la $\sum \vec{F} = 0$ y $\sum \vec{M} = 0$.

\[ \sum\vec{F}=0 \]

\[ \sum F_{x}=0,\sum F_{y}=0,\sum F_{z}=0 \]

\[ \sigma_{xx}(Q)dydz+\tau_{yx}(Q)dxdz+\tau_{zx}(Q)dxdy-\big(\sigma_{xx}(P)dydz+\tau_{yx}(P)dxdz+\tau_{zx}(P)dxdy\big)+Xdxdydz=0 \]

\textbf{Nota: }Las tensiones se multiplican por un diferencial de área porque una tensión tiene como unidad $\dfrac{Fuerza}{\acute{A}rea}$ y el equilibrio se hace con las fuerzas.

\textbf{Nota: }La fuerza volumétrica se multiplica por un diferencial de volumen precisamente porque es la fuerza por unidad de volumen.

\[ \sum\vec{F_{x}}=0\text{\ensuremath{\Longrightarrow}\ensuremath{\dfrac{\partial\sigma_{xx}}{\partial x}+\dfrac{\partial\tau_{yx}}{\partial y}+\dfrac{\partial\tau_{zx}}{\partial z}+X=0}} \]

\[ \sum\vec{F_{y}}=0\text{\ensuremath{\Longrightarrow}\ensuremath{\dfrac{\partial\tau_{xy}}{\partial x}+\dfrac{\partial\sigma_{yy}}{\partial y}+\dfrac{\partial\tau_{zy}}{\partial z}+Y=0}} \]

\[ \sum\vec{F_{z}}=0\text{\ensuremath{\Longrightarrow}\ensuremath{\dfrac{\partial\tau_{xz}}{\partial x}+\dfrac{\partial\tau_{yz}}{\partial y}+\dfrac{\partial\sigma_{zz}}{\partial z}+Z=0}} \]

Ahora tenemos que analizar el equilibrio rotacional

\[ \sum\vec{M}=0 \]

\[ \sum M_{x}=0,\sum M_{y}=0,\sum M_{z}=0 \]

En el estudio de momentos podemos eliminar fuerzas que no producen momento; las fuerzas $\sigma_{xx},\tau_{xz},\tau_{xy}$son descartadas porque no producen momento en la dirección del eje $x$, todo debe analizarse como si el cubo rotara en dicha dirección,

\section{Preguntas/dudas}

\textbf{\textcolor{red}{Pregunta: ¿Con los ejes coordenados significa que con el sistema de referencia también?}}

\textbf{\textcolor{red}{Pregunta: ¿Nombre de $\sigma$ y $\tau$ cizalladura tensión?}}

\textbf{\textcolor{red}{Pregunta: ¿Equilibrio interno de dónde sale la fuerza volumétrica (centro de gravedad --> fuerza gravitatoria)?}}

\textbf{Respuesta: }Lo he pensado un par de minutos y supongo que sí ya que es un equilibrio interno del sólido

\end{document}