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Diferencia entre revisiones de «Lógica proposicional/Proposiciones compuestas»

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Línea 2:
Hasta este momento hemos visto que la lógica proposicional trata con enunciados atómicos que llamamos proposiciones y que representamos con letras individuales debido a que no nos interesan sus características internas, solamente su valor de verdad. También nos hemos familiarizado con las principales conectivas lógicas que podemos usar para combinar proposiciones individuales (conjunción, disyunción, implicación) o para cambiar su valor de verdad (negación).
 
Con lo que sabemos podemos representar en el lenguaje de la lógica proposicional expresiones como «Francia es un país» (<math>A</math>), «Los triángulos rectángulos tienen un ángulo de 90° y los cuadrados tienen 4 ángulos de 90°» (<math>B \andland C</math>) o «no es cierto que el sistema solar tiene nueve planetas» (<math>\neg D</math>). Sin embargo su verdadero poder como herramienta de razonamiento se vuelve aparente cuando la usamos para representar expresiones más complejas. Por ejemplo, podemos representar el texto:
 
<blockquote>«Ni el zorro ni el lince pueden atrapar a la libre si está alerta y es rápida»</blockquote>
Línea 8:
con la proposición:
 
<blockquote><math>(R \andland S) \Rightarrow (\neg P \andland \neg Q)</math></blockquote>
 
si representamos los hechos en el enunciado de la siguiente forma:
Línea 25:
Los paréntesis nos permiten agrupar expresiones e indicar el orden exacto en el que se deben evaluar.<ref name="klement" /> En el lenguaje natural un enunciado se puede interpretar de formas distintas. Las ambigüedades se resuelven usando el contexto o quedan sin dilucidar. En el lenguaje de la lógica proposicional los significados de las expresiones deben comunicarse de forma precisa y sin ambigüedades para poder usarlas para sacar conclusiones sólidas.
 
Mientras que en el lenguaje natural la expresión «No es cierto que Júpiter es un planeta y el Sol es un planeta» es perfectamente aceptable, en la lógica proposicional es indispensable determinar si la frase «no es cierto que» se aplica a la expresión completa («Júpiter es un planeta y el Sol es un planeta») o solamente a la primera proposición («Júpiter es un planeta») ya que las expresiones resultantes tienen diferentes valores de verdad. Si definimos <math>J</math> como «Júpiter es un planeta» y <math>S</math> como el «Sol es un planeta», podemos interpretar el enunciado como <math>\neg (J \andland S)</math> que tiene un valor de verdad <math>V</math> o como <math>\neg J \andland S</math>, que tiene un valor de verdad <math>F</math>.
 
=== Método para crear fórmulas bien formadas ===
Línea 34:
# Si <math>\alpha</math> es una fórmula bien formada, <math>\neg \alpha</math> también es una fórmula bien formada.
# Si <math>\beta</math> y <math>\gamma</math> son fórmulas bien formadas, las siguientes expresiones también son fórmulas bien formadas:
## <math>(\beta \andland \gamma)</math>
## <math>(\beta \orlor \gamma)</math>
## <math>(\beta \Rightarrow \gamma)</math>
## <math>(\beta \Leftrightarrow \gamma)</math>
Línea 44:
 
 
Como una conveniencia se suelen omitir los paréntesis más externos, de forma que <math>\delta \andland \epsilon</math> y <math>(\delta \andland \epsilon)</math> se consideran la misma expresión. Sin embargo es necesario colocarlos en su lugar si la fórmula se va a combinar como parte de otra fórmula más compleja como <math>(\delta \andland \epsilon) \orlor \zeta</math>.
 
Para facilitar la comprensión de este procedimiento, la siguiente tabla muestra varias proposiciones y las razones por las cuales se consideran fórmulas bien formadas.
Línea 64:
** Dado que <math>B</math> es una fórmula bien formada, su negación <math>\neg B</math> también es una fórmula bien formada.
|-
|<math>(C \andland D)</math>
|
* Todas las proposiciones atómicas son fórmulas bien formadas según la regla #1.
Línea 70:
** <math>D</math> es una proposición atómica y por tanto una fórmula bien formada.
* La conjunción de dos fórmulas bien formadas rodeada por paréntesis es una fórmula bien formada según la regla #3.1
** Dado que <math>C</math> y <math>D</math> son fórmulas bien formadas, su conjunción <math>(C \andland D)</math> también es una fórmula bien formada.
|-
|<math>(\neg (C \andland \neg D) \orlor E)</math>
|
* Todas las proposiciones atómicas son fórmulas bien formadas según la regla #1.
Línea 81:
** Dado que <math>D</math> es una fórmula bien formada, su negación <math>\neg D</math> también es una fórmula bien formada.
* La conjunción de dos fórmulas bien formadas rodeada por paréntesis es una fórmula bien formada según la regla #3.1
** Dado que <math>C</math> y <math>\neg D</math> son fórmulas bien formadas, su conjunción <math>(C \andland \neg D)</math> también es una fórmula bien formada.
* La negación de una fórmula bien formada también es una fórmula bien formada según la regla #2
** Dado que <math>(C \andland \neg D)</math> es una fórmula bien formada, su negación <math>\neg (C \andland \neg D)</math> también es una fórmula bien formada.
* La disyunción de dos fórmulas bien formadas rodeada por paréntesis es una fórmula bien formada según la regla #3.2
** Dado que <math>\neg (C \andland \neg D)</math> y <math>E</math> son fórmulas bien formadas, su disyunción <math>(\neg (C \andland \neg D) \orlor E)</math> también es una fórmula bien formada.
|-
|<math>((R \andland S) \Rightarrow (\neg P \andland \neg Q))</math>
|
* Todas las proposiciones atómicas son fórmulas bien formadas según la regla #1.
Línea 98:
** Dado que <math>Q</math> es una fórmula bien formada, su negación <math>\neg Q</math> también es una fórmula bien formada.
* La conjunción de dos fórmulas bien formadas rodeada por paréntesis es una fórmula bien formada según la regla #3.1
** Dado que <math>R</math> y <math>S</math> son fórmulas bien formadas, su conjunción <math>(R \andland S)</math> también es una fórmula bien formada.
** Dado que <math>\neg P</math> y <math>\neg Q</math> son fórmulas bien formadas, su conjunción <math>(\neg P \andland \neg Q)</math> también es una fórmula bien formada.
* La implicación de dos fórmulas bien formadas rodeada por paréntesis es una fórmula bien formada según la regla #3.3
** Dado que <math>(R \andland S)</math> y <math>(\neg P \andland \neg Q)</math> son fórmulas bien formadas, su implicación <math>((R \andland S) \Rightarrow (\neg P \andland \neg Q))</math> también es una fórmula bien formada.
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