Diferencia entre revisiones de «Oscilaciones amortiguadas y forzadas»

Contenido eliminado Contenido añadido
Sin resumen de edición
Etiqueta: editor de código 2017
Línea 2:
 
== Oscilaciones amortiguadas ==
Las oscilaciones reales ocurren bajo fuerzas no conservativas como la fricción, las cuales hacen que la energía mecánica disminuya en el tiempo, causando amortiguación del movimiento.
 
Entonces en el movimiento está presente una fuerza restauradora y una amortiguadora.
 
Generalmente la fuerza retardadora es proporcional a la rapidez del objeto en movimiento y actúa en dirección opuesta a la velocidad del objeto respecto al medio.
 
<math>\vec{R}= -b\vec{v}</math>
 
<math>b</math>se conoce como coeficiente de amortiguamiento
 
Puede escribirse la segunda ley de Newton como
 
<math>-kx-b{dx \over dt} = m {d^2x \over dt^2}</math>
 
La solución de esta ecuación es:
 
<math>x=A e^ {-\frac{b}{2m}t}\cos(wt+\phi)</math>
 
La frecuencia angular de un oscilador amortiguado se puede escribir como
 
<math>w=\sqrt{w_0^2-\left ( \frac{b}{2m} \right )^2} </math>
 
<math>w_0</math>es la frecuencia angular natural, es decir cuando no hay fuerza retardadora.
 
Cuando la fuerza retardadora es pequeña, es decir cuando <math>\frac{b}{2m} < w_0 </math>, se conserva el carácter oscilatorio pero la amplitud disminuye con el tiempo hasta detenerse. A ese movimiento se le conoce como '''subamortiguado.'''
 
Cuando<math>\frac{b}{2m} =w_0 </math> , el sistema no oscila. Una vez se suelta del reposo, el sistema se aproxima a su posición de equilibrio, pero no pasa por ella. A ese movimiento se le conoce como '''críticamente amortiguado'''.
 
Cuando <math>\frac{b}{2m} > w_0 </math>,el sistema se aproxima a su posición de equilibrio, empleando más tiempo. A ese movimiento se le conoce como '''sobreamortiguado'''.
 
== Oscilaciones forzadas ==
Es posible compensar la disminución de energía aplicando una fuerza externa que haga trabajo positivo en el sistema.
 
Si la fuerza externa es<math>F_{(t)}=F_0\sin(wt) </math>
 
La segunda ley de Newton se da como
 
<math>F_0\sin(wt)-b{dx \over dt}-kx=m{d^2x \over dt^2} </math>
 
Cuando la energía que entra al sistema a través de esta fuerza iguala a la cantidad de energía mecánica que se transforma en energía interna, se alcanza un estado estacionario, donde la amplitud del movimiento es constante. Entonces la solución a la ecuación es
 
<math>x=A \cos(wt+\phi) </math>
 
Para la ecuación anterior, la amplitud es
 
<math>A=\frac{\frac{F_0}{m}}{\sqrt{(w^2-w_0^2)^2+(\frac{bw}{m})^2}} </math>
 
donde <math>w_0 </math>     es la frecuencia natural del oscilador.
 
== Resonancia ==
Se puede observar que la amplitud es muy grande cuando <math>w \thickapprox w_0 </math>            . A esto se le conoce como '''resonancia'''. Y a la frecuencia natural    <math>w_0 </math>  , se le conoce como '''frecuencia de resonancia'''.
 
Esto ocurre porque la transferencia de energía al sistema ocurre bajo las condiciones más favorables. Esto se puede explicar derivando la ecuación de posición, obteniendo <math>v=wA\sin(wt+\phi) </math>
 
Como es la misma función trigonométrica de la fuerza, entonces se dice que están en fase.
 
La rapidez a la que la fuerza realiza trabajo sobre el oscilador es  <math>F\centerdot v </math>  , que se conoce como potencia entregada y es máxima cuando las dos cantidades están en fase.
 
Entonces en resonancia la fuerza aplicada está en fase con la velocidad y la potencia transferida al oscilador es máxima.
 
De la fórmula de amplitud, podemos ver que cuando el amortiguamiento
 
es poco,   <math>b=0 </math>       , y <math>w\approx w_0 </math> , la amplitud toma valores muy grandes.
 
== Anexos ==
=== Véase también ===