Diferencia entre revisiones de «Propiedades de la transformada de Fourier»
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→Dualidad: Demostración alternativa |
→Cambio de escala: Actualizada demostración |
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Línea 90:
=== Cambio de escala ===
{|
<math>\begin{align}▼
|
| <math>=</math>
& \left\{ \begin{align}▼
| <math>\frac{1}{\left|
|-
& \partial u=a\partial t\to \partial t=\frac{\partial u}{a} \\ ▼
| <math>\mathbb{F}\left[ f(at) \right]</math>
\end{align} \right\}\to \int\limits_{u=-\infty }^{u=\infty }{f(u)e^{-j\omega \frac{u}{a}}\partial {u}/{a}\;\to \left\{ \begin{align}▼
| <math>=</math>
\end{align} \right.} \\ ▼
\end{align} \right\} \quad \Rightarrow </math>
|-
|
| <math>\color{Gray}\Rightarrow</math>
| <math>\color{Gray}
▲ & si \
\frac{1}{a} \int\limits_{-\infty}^{\infty}{f(u) \cdot e^{-j \frac{\omega}{a} u} \partial u} =
\frac{1}{a} F \left( \frac{\omega}{a} \right) \\
& si \quad a < 0 \; \to \int\limits_{\infty}^{-\infty}{f(u) \cdot e^{-j \omega \frac{u}{a}} \frac{\partial u}{a}} \; = \;
\frac{-1}{a} \int\limits_{-\infty}^{\infty}{f(u) \cdot e^{-j \frac{\omega}{a} u} \partial u} =
\frac{-1}{a} F \left( \frac{\omega}{a} \right)
\color{Black}\frac{1}{\left| a \right|}F\left( \frac{\omega }{a} \right)</math>
|}
=== Transformada de la conjugada ===
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