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Línea 3: == Enunciado == {{teorema\|Sea <math>a, \, bq \in \mathbb{N} \; / \; \operatorname{mcd}(a, ~~\; b~~q) = 1</math> entonces la [[progresión aritmética]] <math>a_n=a+bn \cdot nq</math> contiene infinitos [[números primos]].\|Dirichlet}} == Demostración == La ~~prueba~~demostración del teorema utiliza las propiedades de ciertas funciones multiplicativas (conocidas como [[Función L de Dirichlet\|funciones-L de Dirichlet]]) y varios resultados sobre aritmética de [[números complejos]]. Para evitar hacer la lectura demasiado densa, se han excluido de la demostración algunos corolarios intermedios que aparecen marcados como '''[AD]'''. La demostración completa, junto con los corolarios excluidos aquí, se puede encontrar en el artículo de González de la Hoz.<ref>González de la Hoz, F. A., ''Demostración del teorema de Dirichlet'', [http://paraisomat.ii.uned.es/archivos/tnumeros/ap_dirichlet.zip web de la UNED].</ref> {{definición\|'''Definición''': Sea <math>G</math> un [[grupo conmutativo]] finito de orden <math>h</math> y elemento unitario <math>e</math>.<br /> Un '''''carácter sobre'' <math>G</math>''' es una función <math>\chi \in \mathbb{C} \; / \; \chi \neq 0, \;\chi(u \cdot v)=\chi(u) \cdot \chi(v) \; \forall u, v \in G</math>}} Línea 39: #: Dado un <math>q \in \mathbb{N}</math>, se definen los caracteres <math>\chi</math> del grupo <math>G=\Z^*_q</math> definido como las clases de congruencia módulo <math>q</math> de números coprimos con <math>q</math>. #: El grupo <math>G</math> tiene <math>\varphi(q)</math> elementos, y lo podemos representar por <math>G=\lbrace a_1, a_2, a_3, ..., a_{\varphi(q)} \rbrace</math> donde los diferentes <math>a_i</math> son los representantes de la clase de congruencia que cumplen la condición <math>0<a_j<q</math>, y en este contexto se definen las funciones extendidas de los caracteres <math>\chi</math> de <math>G</math> de la siguiente manera: #:: <math>\chi(n)= \begin{cases} \chi(a_i) & \mathrm{si} \; n \equiv a_i \pmod q \\ 0 & \mathrm{si} \; \operatorname{mcd}(n,q)>1 \end{cases}</math> #: Estas funciones se denominan '''caracteres de Dirichlet módulo ''q''''' y son completamente multiplicativas. Existen <math>\varphi(q)</math> funciones de este tipo y ~~una~~la más básica de ellas se denomina '''carácter principal de Dirichlet''': #:: <math>\chi_0(n)= \begin{cases} 1 & \mathrm{si} \; n \equiv a_i \pmod q \\ 0 & \mathrm{si} \; \operatorname{mcd}(n,q)>1 \end{cases}</math> ~~se denomina '''carácter principal de Dirichlet'''.~~ #: Estos caracteres tienen algunas '''propiedades''' significativas (derivadas de las propiedades de los caracteres de un grupo que vimos antes): # <math>\sum_{n \; (\mathrm{mod \;} q)}\chi(n)=\begin{cases}

Diferencia entre revisiones de «Teorema de Dirichlet (progresiones aritméticas)»