Diferencia entre revisiones de «Teorema de Dirichlet (progresiones aritméticas)»
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Los valores de <math>\chi</math> son periódicos, lo que implica que la serie <math>L(s,\,\chi)</math> [[convergencia absoluta|converge absolutamente]] para <math>\Re(s)>1</math> y [[convergencia uniforme|uniformemente]] para <math>\Re(s)>1+\varepsilon, \quad \forall \varepsilon>0.</math>
Además, como los coeficientes son completamente multiplicativos, la serie admite la siguiente expresión:
:<math>L(s,\chi)=\prod_p \left ( 1 - \frac {\chi(p)}{p^s} \right )^{-1}</math>
Cuando <math>\Re(s)>1</math> La '''función-L''' de Dirichlet tiene las siguientes propiedades ('''[AD]'''):
# <math>L(s,\chi) \neq 0</math>
# <math>L(s,\chi_0)=\zeta(s) \cdot \prod_{p \mid q} \left ( 1 - \frac {1}{p^s} \right )</math>
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# <math>\ln(L(s,\chi))=\sum_p{\sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m} \frac {(\chi(p))^m}{p^{m \cdot s}}}</math>
De la igualdad
:<math>L(s,\chi_0)=\zeta(s) \cdot \prod_{p \mid q} \left ( 1 - \frac {1}{p^s} \right )</math>
Como consecuencia de esto, podemos afirmar que <math>L(s,\chi_0)=f(s)+\frac{\varphi(q)/q}{s-1}</math>, donde <math>f</math> es analítica y no tiene singularidades en <math>\Re(s)>0</math>, de modo que la función expresada por <math>\frac {L^\prime(s,\chi)}{L(s,\chi)}=\frac {f^\prime(s)-\frac{\varphi(q)/q}{(s-1)^2}}{f(s)+\frac{\varphi(q)/q}{s-1}}=\frac{(s-1)^2f^\prime(s)-\varphi(q)/q}{(s-1)f(s)-\varphi(q)/q}\frac{1}{s-1}</math> tiene también un polo en <math>s=1</math> con residuo <math>-1</math>.▼
:<math>\operatorname{Res}(L(s,\chi_0),1) = \prod_{p \mid q} \left ( 1 - \frac {1}{p} \right )=\frac {\varphi(q)}{q}</math>.
<math>\sum_{p \equiv a\pmod q}\frac{\ln(p)}{p^k}=\sum_{n \equiv a\pmod q}\frac{\Lambda(n)}{n^k}-O(1)</math>▼
lo cual también se puede expresar como:▼
▲Como consecuencia de esto, podemos afirmar que <math>\textstyle L(s,\chi_0)=f(s)+\frac{\varphi(q)/q}{s-1}</math>, donde <math>f</math> es analítica y no tiene singularidades en <math>\Re(s)>0</math>, de modo que la función expresada por
que tiene también un polo en <math>s=1</math> con residuo <math>-1</math>. Por otra parte, toda '''función-L''' de Dirichlet <math>L(s,\chi)</math> con <math>\chi \neq \chi_0</math> es analítica y no presenta singularidades en la zona <math>\Re(s)>0</math> ('''[AD]'''). Y para <math>k>0</math> se tiene ('''[AD]''') que:
▲: <math>\sum_{p \equiv a\pmod q}\frac{\ln(p)}{p^k}=\sum_{n \equiv a\pmod q}\frac{\Lambda(n)}{n^k}-O(1)</math>,
:<math>\sum_{p \equiv a\pmod q}\frac{\ln(p)}{p^k}=</math><math>\frac {-1}{\varphi(q)} \cdot \frac {L^\prime(k,\chi_0)}{L(k,\chi_0)} - \frac{1}{\varphi(q)\chi(a)} \sum_{ \chi\pmod q \atop \chi \neq \chi_0}\frac {L^\prime(k,\chi)}{L(k,\chi)}-O(1)</math>.
Esta expresión es clave para la demostración del teorema de Dirichlet, pues podemos concluir que el teorema es cierto si el primer término del segundo miembro diverge cuando los restantes términos permanecen dentro de unos límites.
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Como se cumple que <math>L(1,\chi) \neq 0</math> cuando <math>\chi \neq \chi_0</math> la siguiente expresión:
obtiene un valor finito y, como vimos, dado que <math>\textstyle \frac{1}{\chi_0(a)}\frac{L^\prime(k,\chi_0)}{L(k,\chi_0)}=\frac{L^\prime(k,\chi_0)}{L(k,\chi_0)}</math>
tiene un polo en <math>s=1</math> con residuo <math>-1</math> se cumple que
<math>\textstyle \lim_{k \rightarrow 1^+}\frac{L^\prime(k,\chi_0)}{L(k,\chi_0)}=-\infty</math>
lo que implica que:
lo que
== Referencias ==
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