Diferencia entre revisiones de «Sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas»

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Un '''sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas''' es un [[sistema lineal de ecuaciones]] formado por sólo dos ecuaciones que admite un tratamiento particularmente simple, junto con el caso trivial de una ecuación lineal con una única incógnita, es el caso más sencillo posible de sissistemas de [[Ecuación|ecuaciones]], y que permiten su resolución empleando técnicas básicas del [[álgebra]] cuando los coeficientes de la ecuación se encuentran sobre un [[Cuerpo (matemática)|cuerpo]] (sobre un anillo la solución no es tan sencilla).
 
Una infinidad de problemas pueden ser resueltos con un sistema de dos ecuaciones. Veamos las distintas formas en las que se pueden encontrar sus soluciones.
[[Archivo:FunLin 03.svg|right|300px]]
 
== Tipos de solución ==
Consideremos un sistema como el siguiente:
{{ecuación|
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=== Método de reducción ===
El método de reducción consiste en multiplicar cada una de las ecuaciones por los valores necesarios, de forma que los coeficientes de una de las incógnitas sean los mismos cambiados de signo. Conseguido esto, se suman las dos ecuaciones y la incógnita que tiene los coeficientes opuestos se elimina, dando lugar a una ecuación con una incógnita, que se resuelve haciendo las operaciones necesarias. Conocida una de las incógnitas se sustituye su valor en una de las ecuaciones originales y calculamos la segunda.
 
tenemos como ejemplo el sistema:
: <math>
\left \{
\begin{array}{rrcr}
x & +y & = & 5 \\
-x & +2y & = & 4
\end{array}
\right .
</math>
 
En este caso la '''x''', ya tiene el mismo coeficiente en las dos ecuaciones cambiado de signo y no es necesario hacer ninguna operación para lograrlo; podemos sumar las dos ecuaciones directamente:
: <math>
\begin{array}{rrcr}
x & +y & = & 5 \\
-x & +2y & = & 4 \\
\hline
& 3y & = & 9
\end{array}
</math>
 
como resultado de la suma tenemos una sola ecuación con una incógnita:
: <math> 3 \,y = 9 </math>
 
Línea 425 ⟶ 452:
Como puede verse, podemos resolver el sistema independientemente de qué incógnita despejemos primero o en qué ecuación sustituyamos después su valor, por lo que podemos hacerlo del modo que nos resulte más cómodo, según los coeficientes que tengan las incógnitas.
 
=== Método de sustitución ===
El método de sustitución consiste en despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones y sustituirlo en la otra, dando lugar así a una ecuación con una incógnita. Una vez resuelta sustituimos su valor en la ecuación despejada y calculamos la segunda incógnita.
 
Línea 703 ⟶ 731:
el sistema es incompatible o compatible indeterminado, y sólo será compatible determinado si este determinante es distinto de cero.
 
Como ejemplo vamos a resolveresolver el sistema:
: <math>
\left \{
\begin{array}{rcrcr}
x & + & y & = & 5 \\
-x & + & 2y & = & 4
\end{array}
\right .
</math>
 
Calculamos primero la '''x''':
: <math>
x =
\frac{
\begin{vmatrix}
5 & 1 \\
4 & 2
\end{vmatrix}
}{
\begin{vmatrix}
1 & 1 \\
-1 & 2
\end{vmatrix}
}
=
\cfrac
{5 \cdot 2 - 1 \cdot 4}
{1 \cdot 2 - 1 \cdot (-1)}
= \cfrac{10 - 4}{2+1}
= \cfrac{6}{3}
= 2
</math>
 
y ahora calculamos la '''y''':
: <math>
y =
\frac{
\begin{vmatrix}
1 & 5 \\
-1 & 4
\end{vmatrix}
}{
\begin{vmatrix}
1 & 1 \\
-1 & 2
\end{vmatrix}
}
=
\cfrac
{1 \cdot 4 - 5 \cdot (-1)}
{1 \cdot 2 - 1 \cdot (-1)}
= \cfrac{4 + 5}{2+1}
= \cfrac{9}{3}
= 3
</math>
 
Con lo que tenemos la solución al sistema que, naturalmente, es:
: <math> x = 2 \, </math>
: <math> y = 3 \, </math>
 
*
== Solución de un problema ==
La resolución de un sistema de ecuaciones no es una tarea en sí misma, sino que forma parte de la resolución de un problema, teórico o práctico. Veamos como, partiendo de un problema expresado de modo textual, podemos transcribirlo a ecuaciones y luego resolverlo.
 
El problema es:
: ''En una granja hay conejos y patos. Si entre todos suman 18 cabezas y 52 patas, ¿cuántos conejos y patos hay?''
 
Tenemos un problema expresado textualmente. Para resolverlo tenemos que pasarlo a forma de ecuaciones, por lo que tenemos que determinar:
# Cuáles son las incógnitas.
# Qué relación hay entre ellas.
 
En este caso la propia pregunta dice cuáles son las incógnitas: el número de conejos y el número de patos. Llamaremos '''x''' al número de conejos e '''y''' al número de patos:
: <math> x = n\acute{u}mero \; de \; conejos \, </math>
: <math> y = n\acute{u}mero \; de \; patos \, </math>
 
Sabemos que cada conejo y cada pato tienen una sola cabeza. Por tanto: el número de conejos por una cabeza, más el número de patos por una cabeza también, tienen que sumar 18:
: <math> \,x + \,y = 18 </math>
 
Por otra parte, los conejos tienen cuatro patas y los patos sólo tienen dos. Por tanto: el número de conejos por cuatro patas cada uno, más el número de patos por dos patas, tienen que sumar 52:
: <math> 4 \,x + 2 \,y = 52 </math>
 
La cuestión es: qué valores de '''x''' e '''y''' cumplen las dos ecuaciones al mismo tiempo; esto es, las dos ecuaciones forman un sistema y el valor de la '''x''' y de la '''y''' es la solución de un sistema de dos ecuaciones:
: <math>
\left \{
\begin{array}{rrcr}
x & + y & = & 18 \\
4x & +2y & = & 52
\end{array}
\right .
</math>
 
Ya tenemos el sistema de ecuaciones perfectamente representado, primero veremos que clase de sistema es, y si admite solución o no, podemos ver que:
: <math>
\cfrac{1}{4} \ne
\cfrac{1}{2}
</math>
 
Luego el sistema es compatible determina, por lo que tendrá una única solución y podemos solucionarlo por cualquiera de los métodos ya vistos. Por ejemplo, el de reducción.
 
Todos los coeficientes de la segunda ecuación son pares y por tanto divisibles por dos:
: <math>
\left \{
\begin{array}{rrcr}
x & +y & = & 18 \\
2x & +y & = & 26
\end{array}
\right .
</math>
 
Si ahora la primera ecuación la cambiamos de signo, (multiplicándola por -1), tendremos:
: <math>
\left \{
\begin{array}{rrcr}
-x & - y & = & -18 \\
2x & + y & = & 26
\end{array}
\right .
</math>
 
sumamos las dos ecuaciones:
: <math>
\begin{array}{rrcr}
-x & -y & = & -18 \\
2x & +y & = & 26 \\
\hline
x & & = & 8
\end{array}
</math>
 
Con lo que tenemos que '''x'''= 8. Sustituyendo este valor en la primera ecuación, tenemos:
: <math> 8 + \,y = 18 </math>
: <math> \,y = 18 - 8</math>
: <math> \,y = 10</math>
 
con lo que ya tenemos la solución del problema:
: <math> x = n\acute{u}mero \; de \; conejos = 8 \, </math>
: <math> y = n\acute{u}mero \; de \; patos = 10 \, </math>
 
Podemos comprobar estos resultados en el enunciado del problema para comprobar que son correctos.
 
En resumen: partiendo de un problema en forma de texto, hemos identificado las incógnitas y hemos establecido las relaciones que hay entre ellas, dando lugar a un sistema que tiene tantas ecuaciones independientes como incógnitas. Resuelto el sistema, tenemos la solución, que podemos comprobar que es correcta en el texto original.
 
== Bibliografía ==
* Álgebra y funciones 2, ecuaciones de segundo grado, sistema de ecuaciones, ESO (2004)
: Editor: Santillana, S. L.
: ISBN 84-294-9492-8
 
* Ecuaciones lineales (1992)
: Editor: Ediciones Pirámide, S.A.
: ISBN 84-368-0697-2
 
* Ecuaciones, matemáticas, ESO. Cuaderno (1998)
: Autor: Bailo i Mompart, C.; Casals, Rafael; Gomà, Antoni
: Editor: Editorial Teide, S.A.
: ISBN 84-307-4312-X
 
* Sistemas de ecuaciones (1989)
: Autor: Gallego Palomero, A.
: Editor: Ediciones SM
: ISBN 84-348-2868-5
 
* Sistemas de ecuaciones (1987)
: Autor: Lowy, Ernesto
: Editor: Ediciones SM
: ISBN 84-348-2278-4
 
* Ecuaciones lineales en EGB y EEMM (1989)
: Autor: Rodríguez Cano, Natalio Jesús
: Editor: Centro de Profesores de Baza
: ISBN 84-600-8109-5
 
* Sistemas de ecuaciones lineales (2005)
: Autor: Iglesias Gutiérrez del Álamo, Manuel
: Editor: Instituto Juan de Herrera
: ISBN 84-9728-176-4
 
* Matemáticas, ecuaciones no lineales e inecuaciones, 4 ESO. Cuaderno 3 (2007)
: Autor: García Muñoz, Julio; Alcaide Guindo, Fernando; González Fernández, José Luis
: Editor: Ediciones SM
: ISBN 84-675-1543-0
 
== Enlaces externos ==
* [http://www.ematematicas.net/sistecuaciones.php?a=1 Sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas]
* [http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0045-01/ed99-0045-01.html SISTEMAS LINEALES DE DOS ECUACIONESCON DOS INCÓGNITAS]
* [http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/14/matematicas-14.html Sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas.]
* [http://student_star.galeon.com/ecuacio.html SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON DOS VARIABLES]
* [http://www.elosiodelosantos.com/dosecuaciones.html Sistema Lineal de Dos Ecuaciones con Dos Incógnitas]
* [http://www.unizar.es/aragon_tres/unidad2/Sistemas/u2sisecte20.pdf Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas]