Ecuación de curvas

Ecuación de la recta en el plano

La Geometría analítica consiste en emplear operaciones de cálculo para resolver problemas de geometría, en un plano xy, podemos representar una recta y= mx + b, y determinar las valores de m y de b que cumplan determinadas condiciones, por ejemplo las de un problema de geometría, veamos algunos casos del empleo del cálculo aplicado a la geometría:

Tengase en cuenta que en geometría y el álgebra elemental, una función lineal es una función polinómica de primer grado; es decir, una función cuya representación en el plano cartesiano es una línea recta. Esta función se puede escribir como:

$f(x)=mx+b\,$

donde m y b son constantes reales y x es una variable real. La constante m es la pendiente de la recta, y b es el punto de corte de la recta con el eje y. Si se modifica m entonces se modifica la inclinación de la recta, y si se modifica b, entonces la línea se desplazará hacia arriba o hacia abajo.

Ejemplo

Una función lineal de una única variable dependiente x es de la forma:

$y=m\;x+b\,$

que se conoce como ecuación de la recta en el plano xy.

En la figura se ven dos rectas, que corresponden a las ecuaciones lineales siguientes:

$y=0,5\;{x}+2\,$

en esta recta el parámetro m= 1/2 por tanto de pendiente 1/2, es decir, cuando aumentamos x en una unidad entonces y aumenta en 1/2 unidad, el valor de b es 2, luego la recta corta el eje y en el punto y= 2.

En la ecuación:

$y=-{x}+5\,$

la pendiente de la recta es el parámetro m= -1, es decir, cuando el valor de x aumenta en una unidad, el valor de y disminuye en una unidad; el corte con el eje y es en y= 5, dado que el valor de b= 5.

En una recta el valor de m se corresponde al ángulo $\theta \,$ de inclinación de la recta con el eje de las x a través de la expresión:

$m=\tan \theta \,$

Rectas que pasan por un punto

Determinar las rectas del plano que pasan por el punto $(x_{0},y_{0})$.

La ecuación de la recta ha de ser, como ya se sabe:

$y=mx+b\,$

Y ha de pasar por el punto $(x_{0},y_{0})$, luego tendrá que cumplirse:

$y_{0}=mx_{0}+b\,$

Despejando b, tenemos esta ecuación:

$b=y_{0}-mx_{0}\,$

Sustituyendo b en la ecuación general de la recta:

$y=mx+(y_{0}-mx_{0})\,$

Ordenando términos:

$y=m(x-x_{0})+y_{0}\,$

Esta ecuación define un haz de rectas en el plano que pasa por el punto $(x_{0},y_{0})$, el valor de m es la pendiente de cada una de las rectas que forman parte del haz, m puede tomar un valor real cualesquiera.

Recta que pasa por dos puntos

Determinar la recta del plano que pasan por los puntos $(x_{1},y_{1})$ y $(x_{2},y_{2})$.

Como en el caso anterior, la ecuación de la recta es:

$y=mx+b\,$

Y ha de pasar por los puntos $(x_{1},y_{1})$ y $(x_{2},y_{2})$ luego tendrá que cumplirse:

$y_{1}=mx_{1}+b\,$

$y_{2}=mx_{2}+b\,$

que forman un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, las incógnitas son m y b, para resolver este sistema, cambiamos de signo a la segunda ecuación y sumando las dos ecuaciones:

$y_{1}-y_{2}=mx_{1}-mx_{2}\,$

agrupando términos:

$y_{1}-y_{2}=m(x_{1}-x_{2})\,$

despejando m:

$m={\cfrac {y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}}\,$

este valor, m, es el de la pendiente de la recta que pasa por los dos puntos: $(x_{1},y_{1})$ y $(x_{2},y_{2})$.

Despejando ahora el valor de b de una de las ecuaciones del sistema, por ejemplo de la primera, tenemos:

$b=y_{1}-mx_{1}\,$

y sustituyendo m, por su valor ya calculado;

$b=y_{1}-{\cfrac {y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}}\;x_{1}\,$

Tenemos las dos incógnitas m y b despejadas, en función de las coordenadas de los dos puntos por los que tienen que pasar, la ecuación general de la recta, con los parámetros ya calculados es:

$y={\cfrac {y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}}\;x+y_{1}-{\cfrac {y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}}\;x_{1}\,$

ordenando términos:

$y={\cfrac {y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}}\;(x-x_{1})+y_{1}\,$

Que es una recta en el plano que pasa por los puntos $(x_{1},y_{1})$ y $(x_{2},y_{2})$, como ya se ha dicho.

Una relación curiosa de la ecuación anterior es:

${\cfrac {y-y_{1}}{x-x_{1}}}={\cfrac {y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}}\;\,$

y que dice que la pendiente entre un punto cualesquiera $(x,y)$, de la recta que pasa por dos puntos, y el punto $(x_{1},y_{1})$, es la misma que la que hay entre los puntos $(x_{1},y_{1})$ y $(x_{2},y_{2})$ que definen la recta.

Rectas perpendiculares

Dada una recta:

$y=m_{1}x+b_{1}\,$

Se trata de determinar que rectas:

$y=mx+b\,$

son perpendiculares a la primera.

Sabiendo que:

$m_{1}=\tan(\alpha )\,$

Siendo $\alpha$ el ángulo que forma la recta con la horizontal, cualquier recta perpendicular a ella ha de formar un ángulo $(\alpha +90)$ con la horizontal, por trigonometría sabemos que:

$\tan(\alpha +90)={\frac {-1}{\tan(\alpha )}}$

y si la pendiente de la primera recta es:

$m_{1}=\tan(\alpha )\,$

la de la segunda debe de ser:

$m=\tan(\alpha +90)={\frac {-1}{m_{1}}}\,$

Esto es, dada una recta cualquiera:

$y=m_{1}x+b_{1}\,$

cualquier recta de la forma:

$y={\frac {-1}{m_{1}}}x+b\,$

Es perpendicular a la primera, para cualquier valor del parámetro b.

Es fácil percatarse que las ordenadas en el origen de las rectas, no intervienen para determinar las rectas perpendiculares, esto es porque la perpendicularidad es un problema de dirección, y los puntos por los que pasa la recta no influyen, si la primera recta la sustituimos por una paralela a ella, el problema no se altera en absoluto, y el resultado es un conjunto de rectas paralelas, definidas por la pendiente y no por el punto concreto por el que pasa.