Curso de Matemáticas:Números reales

Fracciones y decimales

Expresión decimal de los números fraccionarios

Las fracciones se pueden escribir en forma decimal, y para ello basta con dividir el numerador entre el denominador. Pero llega un momento en que al realizar esta división el residuo que queda es un número más pequeño que el divisor y las cifras del cociente puede ser que se repitan indefinidamente. Este grupo de cifras que se repiten se denomina periodo.

• La expresión decimal es exacta cuando el residuo es igual a 0.
• La expresión decimal es periódica pura cuando los periodos se repiten desde la coma.
• La expresión decimal es periódica mixta cuando los periodos no se repiten desde la coma.

• La cifra o las cifras que hay antes del periodo son el anteperiodo.

Todos los números fraccionarios se pueden escribir como números decimales; para ello, se debe dividir el numerador entre el denominador. Los números racionales son números decimales exactos o periodicos.

Expresión fraccionaria de los números decimales periodicos

Todos los números decimales periódicos se pueden escribir en forma fraccionaria siguiendo estos pasos:

• Se multiplica por 10, 100, 1000, ..., según convenga, para correr la coma hasta el inicio del segundo periodo.
• Se multiplica el número decimal por 10, 100, 1000, ..., segun convenga, para correr la coma hasta el inicio del primer periodo.
• Se restan los números obtenidos y se aisla x. La fracción obtenida se debe simplificar, si es posible.

Números irracionales

Idea de número real

• Sabemos que todos los números racionales son periódicos, y reciprocamente. Hay números decimales que no son periódicos, como el 1,213214321..., que no es un número periodico.

• Los numeros decimales no periódicos no se pueden escribir en forma de fracción, por lo cual reciben el nombe de números irracionales, en oposición a los números racionales, que se pueden escribir en forma fraccionaria.

• Los números π, la raíz de 2, y en general, todas las raices cuadradas, cubicas... no exactas de números enteros son números irracionales.

Aproximación y error

• La expresión decimal de los números irracionales tiene infinitas cifras; por tanto, es imposible escribir un número irracional completo. Para trabajar con estos números, debemos utilizar aproximaciones, y cometer errores. El error será más pequeño cuanto más grande sea el número de cifras decimales que se vayan a tomar.

• El numero π con 8 cifras decimales es:
  • π = 3,14159265...

• • Si escribimos π = 3,14 hemos aproximado el valor de π hasta las centésimas. El error absoluto por defecto, para que no se cuenten las cifras siguientes, es más pequeño que una centésima.
  • Si escribimos π = 3,1416 hemos aproximados el valor de π hasta las diezmilésimas. El error absoluto por exceso es mas pequeño que una diezmilésima para que no se cuenten las cifras siguientes.

• El error al hacer servir una aproximación en lugar del número que representa, es la diferencia positiva entre los dos, es decir, el resultado positivo de su diferéncia. Este valor se llama error absoluto:
  • π = 3,14159265...; aproximación 3,14; la diferencia es: 3,14 - 3,14159265... = -0,00159265...

Este sera el error absoluto.

• Juntamente con estos errores absolutos se debe considerar el error relativo. No es lo mismo equivocarse de 10 metros en la circunferencia de una fuente que de 10 metros en la longitud del ecuador de la Tierra. El error relativo es el error por unidad, es decir, el cociente entre el error absoluto y el número

Potencias y raíces

• Potencias y raíces de números reales

Valor absoluto. Representacion en la recta real

Valor absoluto

• Cuando hemos estudiado los números enteros y racionales, hemos visto que el valor absoluto de 8 es 8 y el de -8 es, también, 8. Es decir, dos números opuestos tienen el mismo valor absoluto. Para los números reales, esta definición continua siendo válida.

• El valor absoluto de un número real x se designa por |x|, y coincide con el número si es positivo o cero, y con su opuesto si es negativo.

Representación y ordenación de números reales

• Los números se representan en una recta determinada por dos puntos:
  • El punto origen O, al cual se asocia el número real 0.
  • El punto unidad U, al cual se asocia el número real 1.

• Para representar los números enteros se traslada el segmento OU hacia la izquierda si es negativo y hacia la derecha si es positivo, tantas veces como indique su valor absoluto.

• Para representar los números racionales se divide el segmento OU en tantas partes iguales como indica el denominador y se toman las partes que indica el numerador. Para este proceso de divisio se puede usar el teorema de Tales.

• Para representar los números irracionales se utilizan aproximaciones decimales.
  • Representemos π = 3,1416...
    • π se encuentra entre los puntos 3 y 4.
    • Dividamos esta unidad en 10 partes, π está entre los puntos 3,1 y 3,2.
    • Dividamos esta unidad en 100 partes, π está entre los puntos 3,14 y 3,15.

• Aunque en teoria es posible continuar este proceso, en un folio es imposible, por lo que se trata de saber situar aproximadamente un número en la recta.

• Una vez fijados el 0 y el 1, a cualquier número real le corresponde un punto de la recta, y a cualquier punto de la recta le corresponde un numero real.

• El número asociado a un punto tambien es llamado abcisa del punto.

• Para comparar dos números reales, a y b, préviamente se pasan a la forma decimal. Si b - a es positivo, entonces a < b y el punto asociado a b se encuentra a la derecha del punto asociado a a.

Operaciones con números reales

• Las operaciones con números racionales son siempre exactas si se expresan en forma fraccionaria.

• Las operaciones con números irracionales son imposible de efectuar de forma exacta, pues tienen infinitas cifras decimales. Pero podemos operar con esos números si sustituimos por numeros aproximados con una cantidad finita de cifras.

• Las operaciones con números irracionales como π se suelen dejar indicadas y cuando se necesita conocer su valor, se escribe con los decimales adecuados al problema, generalmente con ayuda de calculadoras u ordenadores. Por ejemplo:
  • La longitud de una circunferencia de 8 centimetros de diametrose dará asi: 8π cm.

• Las operaciones con números reales verifican las mismas propiedades que las de los numeros racionales

Véase también

• Principales conjuntos numéricos