Curso de Fotografía/Aerotriangulación

Método de haces de rayos

En la orientación externa de un bloque fotogramétrico se requieren puntos de coordenadas conocidas. El número necesario para orientar correctamente los modelos estereográficos es de 6 por modelo, repartidos por las 6 zonas de Von Grüber, donde los dos superiores y los dos inferiores son puntos de enlace con las pasadas superior en inferior respectivamente. Además, estos puntos, y los dos centrales son también puntos de paso que unen los modelos sucesivos. Hallar las coordenadas terreno de los 6 puntos por modelo en todo un bloque conlleva un gran trabajo de campo, lo que se traduce en un gran coste de tiempo y dinero. Para minimizar dicho coste se utiliza el método de la aerotriangulación fotogramétrica, mediante el cual, con un número menor de puntos tomados en campo, se puede dotar de coordenadas terreno a todos los puntos de paso y de enlace simplemente conociendo sus coordenadas imagen.

El principio del método de aerotriangulación por haces de rayos se basa en la condición de colinealidad, la cual expresa que un punto fotografiado del terreno posee un punto en la imagen que está contenido en la recta que une el punto del terreno con el centro de proyección de la imagen. Esta expresión es extensible a todos los infinitos puntos que aparecen en la imagen y por tanto a los infinitos rayos que existen en dicha imagen. Si se conocen las coordenadas imagen de un punto y las del centro de proyección las coordenadas terreno del punto no están aún definidas puesto que se define la recta pero no la distancia a la que se encuentra el terreno, para ello, necesitaremos otro fotograma en que aparezca dicho punto (modelo estereoscópico), de forma que los haces generados por ambas imágenes corten en el punto terreno.

Para que esto suceda así ambos fotogramas deben estar orientados respecto al sistema terreno. Es por ello que las ecuaciones de colinealidad expresan una rotación de los ejes de los sistemas de los fotogramas.

$x=f\cdot {\frac {\left[m_{11}(X-X_{0})+m_{12}(Y-Y_{0})+m_{13}(Z-Z_{0})\right]}{\left[m_{31}(X-X_{0})+m_{32}(Y-Y_{0})+m_{33}(Z-Z_{0})\right]}}$

$y=f\cdot {\frac {\left[m_{21}(X-X_{0})+m_{22}(Y-Y_{0})+m_{23}(Z-Z_{0})\right]}{\left[m_{31}(X-X_{0})+m_{32}(Y-Y_{0})+m_{33}(Z-Z_{0})\right]}}$

Ecuaciones de colinealidad.

Los valores son los valores de la matriz de rotación, los cuales llevan implícitos los parámetros de orientación externa angulares, (ω,φ,κ) que junto con las coordenadas del centro de proyección definen la orientación externa de los fotogramas, en el caso de los puntos de paso y enlace también se desconocen las coordenadas X, Y, Z terreno. Estos valores son los que se van a hallar, para ello, se necesitan como dato las coordenadas terreno de múltiples puntos, llamados puntos de apoyo, de los cuales se miden sus coordenadas imagen, pudiendo formar un mayor número de ecuaciones que de incógnitas, de modo que se resuelva el sistema por mínimos cuadrados (MMCC), hallando así el valor de las incógnitas y la precisión de las mismas. Para poder resolver el sistema por MMCC hay que linealizar las ecuaciones de colinealidad de modo que las ecuaciones queden del siguiente modo:

$r_{x}=B_{14}d\omega +B_{15}d\varphi +B_{16}d\kappa -B_{11}dX_{0}-B_{12}dY_{0}-B_{13}dZ_{0}+B_{11}dX+B_{12}dY+B_{13}dZ+\left(Fx\right)_{0}$

$r_{y}=B_{24}d\omega +B_{25}d\varphi +B_{26}d\kappa -B_{21}dX_{0}-B_{22}dY_{0}-B_{23}dZ_{0}+B_{21}dX+B_{22}dY+B_{23}dZ+\left(Fy\right)_{0}$

Donde Bij corresponden a las expresiones de las derivadas parciales. Ejemplo:

$B_{14}={\frac {\partial Fx}{\partial \omega }}$

$B_{11}={\frac {\partial Fx}{\partial X}}$

(Fx)0 = Xmedida – Xcalculada al igual que en el caso de la coordenada Y (Fy)0 = Ymedida – Ycalculada

Igualando a cero:

$Fx=\underbrace {0} _{\text{para linealizarlo}}=x-f\cdot {\frac {[m_{11}(X-X_{0})+m_{12}(Y-Y_{0})+m_{13}(Z-Z_{0})]}{[m_{31}(X-X_{0})+m_{32}(Y-Y_{0})+m_{33}(Z-Z_{0})]}}$

Para simplificar la expresión se puede denominar al numerador de la ecuación de colinealidad para la coordenada X como “r”, para la coordenada Y como “s” y para los denominadores como “q” quedando la expresión del siguiente modo:

$\left(Fx\right)_{0}=X_{m}-X_{c}=X_{m}-f\cdot {\frac {r}{q}}$

$\left(Fy\right)_{0}=Y_{m}-Y_{c}=Y_{m}-f\cdot {\frac {s}{q}}$

Si la ecuación finalmente linealizada se expresa de forma matricial queda:

$\left({\begin{array}{c}r_{x}\\r_{y}\end{array}}\right)+\left({\begin{array}{c}-\left(Fx\right)_{0}\\-\left(Fy\right)_{0}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{ccccccccc}B_{14}&B_{15}&B_{16}&-B_{11}&-B_{12}&-B_{13}&B_{11}&B_{12}&B_{13}\\B_{24}&B_{25}&B_{26}&-B_{21}&-B_{22}&-B_{23}&B_{21}&B_{22}&B_{23}\end{array}}\right)\left({\begin{array}{l}d\omega \\d\varphi \\d\kappa \\dX_{0}\\dY_{0}\\dZ_{0}\\dX\\dY\\dZ\end{array}}\right)$

Con dicha expresión se generan 2 ecuaciones por cada punto y 9 incógnitas, los 6 primeros correspondientes a los parámetros de orientación externa y los otros 3 correspondientes a las correcciones a las coordenadas terreno de los puntos de paso. Por ello, se necesitarían mínimo 5 puntos para poder resolver el sistema por mínimos cuadrados, sin embargo en los puntos de apoyo las tres últimas incógnitas desaparecen puesto que son puntos con coordenadas terreno tomadas en campo. Para los puntos de apoyo el sistema queda así:

$\left({\begin{array}{c}r_{x}\\r_{y}\end{array}}\right)+\left({\begin{array}{c}-(Fx)_{0}\\-(Fy)_{0}\end{array}}\right)={\begin{pmatrix}B_{14}&B_{15}&B_{16}&-B_{11}&-B_{12}&-B_{13}&0&0&0\\B_{24}&B_{25}&B_{26}&-B_{21}&-B_{22}&-B_{23}&0&0&0\end{pmatrix}}\left({\begin{array}{l}d\omega \\d\varphi \\d\kappa \\dX_{0}\\dY_{0}\\dZ_{0}\\0\\0\\0\end{array}}\right)$

De modo que para montar el sistema hay que tener en cuenta los siguientes datos:

Se generan 2 ecuaciones por cada punto medido. El número total de incógnitas se halla multiplicando el número de fotogramas que compone el bloque a calcular por 6, el número de parámetros de orientación externa, más 3 incógnitas por cada punto de paso. Para resolver el sistema se realiza un proceso iterativo donde en cada iteración se compensan los valores hasta que la diferencia entre una iteración y la anterior sea despreciable.

Ver también

• Curso de Fotografía