Cálculo y análisis matemático/Tipos de funciones/Función inversa

En matemáticas, si f es una aplicación o función que lleva elementos de I en elementos de J, en ciertas condiciones será posible definir la aplicación f ^-1 que realice el camino de vuelta de J a I. En ese caso diremos que f ^-1 es la aplicación inversa o recíproca de f.

Una función ƒ y su inversa o recíproca ƒ ^–1. Como ƒ aplica a en 3, la inversa ƒ ^–1 lleva 3 de vuelta en a.

Definiciones formales

Sea f una función real biyectiva cuyo dominio sea el conjunto I, es decir, creciente o decreciente en el conjunto I, y cuya imagen sea el conjunto J. Entonces, la función recíproca o inversa de f, denotada f ^-1, es la función de dominio J e imagen I definida por la siguiente regla:

$f(x)=y\Leftrightarrow {}f^{-1}(y)=x{\text{.}}\,\!$

Destaquemos que f ^-1, al igual que f, es una aplicación biyectiva, que queda determinada de modo único por f y que cumple:

• $f^{-1}\circ f=id_{i}$ y
• $f\circ f^{-1}=id_{j}$.

Notación alternativa

La notación tradicional $f^{-1}$ puede ser confusa, ya que puede dar a entender ${\frac {1}{f}}$ . Una notación alternativa utilizada en teoría de conjuntos es usar una estrella:

• $f^{\star }:B\rightarrow A$

Otra notación menos usada es utilizar solo el signo menos en vez del número -1:

• $f^{-}:B\rightarrow A\,$.