Una partición P {\displaystyle P} de un intervalo cerrado y acotado [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} es una función x : { 0 , … , n } ⟶ [ a , b ] {\displaystyle x:\{0,\dots ,n\}\longrightarrow [a,b]} tal que x {\displaystyle x} es creciente con n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2} , x ( 0 ) = a {\displaystyle x(0)=a} y x ( n ) = b {\displaystyle x(n)=b} , comúnmente escribiremos P = { x o = a , x 1 , … , x n − 1 , x n = b } {\displaystyle P=\{x_{o}=a,x_{1},\dots ,x_{n-1},x_{n}=b\}} . El conjunto de todas las particiones del intervalo [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} es denotado por P ( [ a , b ] ) {\displaystyle {\mathcal {P}}([a,b])} .
Sumas de Riemman
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Sea f : [ a , b ] ⟶ R {\displaystyle f:[a,b]\longrightarrow \mathbb {R} } acotada, P ∈ P ( [ a , b ] ) {\displaystyle P\in {\mathcal {P}}([a,b])} digamos P = { x o = a , x 1 , … , x n − 1 , x n = b } {\displaystyle P=\{x_{o}=a,x_{1},\dots ,x_{n-1},x_{n}=b\}} , M i = sup f ( [ x i − 1 , x i ] ) , i = 1 , … , n {\displaystyle M_{i}=\sup f([x_{i-1},x_{i}]),i=1,\dots ,n} e m i = inf f ( [ x i − 1 , x i ] ) , i = 1 , … , n {\displaystyle m_{i}=\inf f([x_{i-1},x_{i}]),i=1,\dots ,n} .
Suma superior
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La suma superior de Riemman de la función f {\displaystyle f} , asociada a la partición P {\displaystyle P} es
U ( P , f ) = ∑ i = 1 n M i Δ x i {\displaystyle U(P,f)=\sum _{i=1}^{n}M_{i}\Delta x_{i}}
Donde Δ x i = x i − x i − 1 , i = 1 , … , n {\displaystyle \Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1},i=1,\dots ,n}
Suma inferior
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La suma superior de Riemman de la función f {\displaystyle f} , asociada a la partición P {\displaystyle P} es
L ( P , f ) = ∑ i = 1 n m i Δ x i {\displaystyle L(P,f)=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\Delta x_{i}}
Donde Δ x i = x i − x i − 1 , i = 1 , … , n {\displaystyle \Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1},i=1,\dots ,n}
Integrales Superiore e Inferior de Riemann
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Sea f : [ a , b ] ⟶ R {\displaystyle f:[a,b]\longrightarrow \mathbb {R} } acotada definimos:
Integral superior
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La integral superior de Riemann de f {\displaystyle f} en [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} por:
∫ a b ^ f = i n f { U ( P , f ) : P ∈ P ( [ a , b ] ) } {\displaystyle \int _{a}^{\hat {b}}f=inf\{U(P,f):P\in {\mathcal {P}}([a,b])\}}
Integral inferior
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La integral inferior de Riemann de f {\displaystyle f} en [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} por:
∫ a b f = s u p { L ( P , f ) : P ∈ P ( [ a , b ] ) } {\displaystyle \int _{a}^{b}f=sup\{L(P,f):P\in {\mathcal {P}}([a,b])\}}
Intregral de Riemann
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Diremos que f : [ a , b ] ⟶ R {\displaystyle f:[a,b]\longrightarrow \mathbb {R} } acotada, es integrable Riemann en [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} , si su intregal superior e inferior coinciden, en cuyo caso al valor en común se le llamara la integral de Riemman de f {\displaystyle f} en [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} (se escribira f ∈ R ( [ a , b ] ) {\displaystyle f\in {\mathcal {R}}([a,b])} , para denotar que la función es intregrable Riemann en dicho intervalo), es decir:
i n f { U ( P , f ) : P ∈ P ( [ a , b ] ) } = s u p { L ( P , f ) : P ∈ P ( [ a , b ] ) } {\displaystyle inf\{U(P,f):P\in {\mathcal {P}}([a,b])\}=sup\{L(P,f):P\in {\mathcal {P}}([a,b])\}}