Cálculo básico

Introducción

El cálculo es una rama de las matemáticas que se enfoca en límites, funciones, derivadas, integrales y series infinitas. Esta área constituye una parte principal de las matemáticas y forma la base de muchas de las ecuaciones que describen la física y la mecánica.

Límites

La definición de límite matemático para el caso de una sucesión nos indica intuitivamente que los términos de la sucesión se aproximan arbitrariamente a un único número o punto $L$, si existe, para valores grandes de $n$. Esta definición es muy parecida a la definición del cuando tiende a $\infty$.

Formalmente, se dice que la sucesión $a_{n}$ tiende hasta su límite $L$, o que converge o es convergente (a $L$), y se denota como:

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=L$

Evaluación de un límite

La evaluación de $\lim _{x\to c}f(x)=L$ requiere mentalmente de la evaluación de la función en un dominio que se hace cada vez mas pequeño alrededor de c, quien a su vez crea un dominio que se hace más pequeño alrededor de L. Al evaluarse un límite que tiende a infinito en el cuál hay una fracción, usualmente se dividen ambos el numerador como el denominador por el termino con el exponente más alto, los términos bajos quedaran como límite parecido al anterior y podremos deshacernos de ellos (ver ejemplo)

${\begin{aligned}\lim _{x\to \infty }{\frac {3x^{2}+2x-4}{6x^{2}-x}}&=\lim _{x\to \infty }{\frac {3x^{2}+2x-4}{6x^{2}-x}}\cdot {\frac {\frac {1}{x^{2}}}{\frac {1}{x^{2}}}}\\&={\frac {3+2\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{x}}-4\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{x}}{\frac {1}{x}}}{6-\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{x}}}}\\&={\frac {3+2\cdot 0-4\cdot 0\cdot 0}{6-0}}={\frac {1}{2}}\end{aligned}}$

Derivadas

En matemática, la derivada de una función mide la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una función en un punto dado.

Derivada de una función

Considerando la función f definida en el intervalo abierto I y un punto a fijo en I, se tiene que la derivada de la función f en el punto $a\,$ se define como sigue:

$f'(a)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}$,

si este límite existe, de lo contrario, $f'$, la derivada, no está definida. Esta última expresión coincide con la velocidad instantánea del movimiento continuo uniforme acelerado en cinemática.

Cálculos de una derivada

La mayor parte de los cálculos de derivadas requieren tomar eventualmente la derivada de algunas funciones comunes. La siguiente lista incompleta proporciona algunas de las más frecuentes funciones de una variable real usadas y sus derivadas.

• Derivada de potencias: si

$f(x)=x^{r},\,$

donde r es cualquier número real, entonces

$f'(x)=rx^{r-1},\,$

donde quiera que esta función sea definida. Por ejemplo, si $f(x)=x^{1/4}$, entonces

$f'(x)=(1/4)x^{-3/4},\,$

• Funciones exponenciales y logarítmicas:

${\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}.$

${\frac {d}{dx}}a^{x}=\ln(a)a^{x}.$

${\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}},\qquad x>0.$

${\frac {d}{dx}}\log _{a}(x)={\frac {1}{x\ln(a)}}.$

• funciones trigonométricas:

${\frac {d}{dx}}\sin(x)=\cos(x).$

${\frac {d}{dx}}\cos(x)=-\sin(x).$

${\frac {d}{dx}}\tan(x)=\sec ^{2}(x)={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}=1+\tan ^{2}(x).$

Ejemplo

La derivada de

$f(x)=x^{4}+\sin(x^{2})-\ln(x)e^{x}+7\,$

es

${\begin{aligned}f'(x)&=4x^{(4-1)}+{\frac {d\left(x^{2}\right)}{dx}}\cos(x^{2})-{\frac {d\left(\ln {x}\right)}{dx}}e^{x}-\ln {x}{\frac {d\left(e^{x}\right)}{dx}}+0\\&=4x^{3}+2x\cos(x^{2})-{\frac {1}{x}}e^{x}-\ln(x)e^{x}.\end{aligned}}$

Integrales

La integración es un concepto fundamental del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una generalización de la suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños. Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes , René Descartes , Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos.

Cálculo de integrales

La técnica más básica para calcular integrales de una variable real se basa en elteorema fundamental del cálculo. Se procede de la siguiente forma:

1. Se escoge una función f(x) y un intervalo [a, b].
2. Se halla una antiderivada de f, es decir, una función F tal que F' = f.
3. Se emplea el teorema fundamental del cálculo, suponiendo que ni el integrando ni la integral tienen singularidades en el camino de integración,

   $\int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).$

4. Por tanto, el valor de la integral es F(b) − F(a).

Nótese que la integral no es realmente la antiderivada, sino que el teorema fundamental permite emplear las antiderivadas para evaluar las integrales definidas.

A menudo, el paso difícil de este proceso es el de encontrar una primitiva de f. En raras ocasiones es posible echar un vistazo a una función y escribir directamente su primitiva. Muy a menudo, es necesario emplear una de las muchas técnicas que se han desarrollado para evaluar integrales. La mayoría de ellas transforman una integral en otra que se espera que sea más manejable. Entre estas técnicas destacan:

• Integración por cambio de variable
• Integración por partes
• Integración por sustitución trigonométrica
• Integración de fracciones parciales

Ejemplo

• $\int x^{5}\,dx={\frac {x^{(5+1)}}{(5+1)}}\,dx={\frac {x^{6}}{6}}\,dx+C$

Referencias

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