Cálculo Vectorial

El cálculo vectorial es un campo de las matemáticas referidas al análisis real multivariable de vector es en 2 o más dimensiones. Consiste en una serie de fórmulas y técnicas para solucionar problemas muy útiles para la ingeniería y la física.

Consideramos los campos vectoriales, que asocian un vector a cada punto en el espacio, y campos escalares, que asocian un escalar a cada punto en el espacio. Por ejemplo, la temperatura de una piscina es un campo escalar: a cada punto asociamos un valor escalar de temperatura. El flujo del agua en la misma piscina es un campo vectorial: a cada punto asociamos un vector de velocidad.

Cuatro operaciones son importantes en el cálculo vectorial:

• Gradiente: mide la tasa y la dirección del cambio en un campo escalar; el gradiente de un campo escalar es un campo vectorial.
• Rotor o rotacional: mide la tendencia de un campo vectorial a rotar alrededor de un punto; el rotor de un campo vectorial es otro campo (seudo)vectorial.
• Divergencia: mide la tendencia de un campo vectorial a originarse en o a converger hacia ciertos puntos; la divergencia de un campo vectorial es un campo escalar.
• Laplaciano: relaciona el "promedio" de una propiedad en un punto del espacio con otra magnitud, es un operador diferencial de segundo orden.

La mayoría de los resultados analíticos se entienden más fácilmente usando la maquinaria de la geometría diferencial, de la cual el cálculo vectorial forma un subconjunto.

Historia

El estudio de los vectores se origina con la invención de los cuaterniones de William Rowan Hamilton, quien junto a otros los desarrollaron como herramienta matemáticas para la exploración del espacio físico. Pero los resultados fueron desilusionantes, porque vieron que los cuaterniones eran demasiado complicados para entenderlos con rapidez y aplicarlos fácilmente.

Los cuaterniones contenían una parte escalar y una parte vectorial, y las dificultades surgían cuando estas partes se manejaban al mismo tiempo. Los científicos se dieron cuenta de que muchos problemas se podían manejar considerando la parte vectorial por separado y así comenzó el Análisis Vectorial.

Este trabajo se debe principalmente al físico americano Josiah Willard Gibbs (1839-1903)

Temario

1. Cálculo Vectorial
   • Definición de un vector en ℝ², ℝ³ (Interpretación geométrica), y su generalización en ℝⁿ.
   • Coordenadas cilíndricas y esféricas
   • Operaciones con vectores y sus propiedades
   • Producto escalar y vectorial
   • Productos triples (escalar y vectorial)
   • Aplicaciones físicas y geométricas de los productos escalares y vectoriales
   • Ecuaciones de rectas y planos
2. Curvas planas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares
   • Curvas planas y ecuaciones paramétricas
   • Ecuaciones paramétricas de algunas curvas y su representación gráfica
   • Derivada de una función dada paramétricamente
   • Longitud de arco en forma paramétrica
   • Coordenadas polares
   • Gráficas de ecuaciones polares
3. Funciones vectoriales de una variable real
   • Definición de función vectorial de una variable real, dominio y graficación
   • Límites y continuidad
   • Derivación de funciones vectoriales y sus propiedades
   • Integración de funciones vectoriales
   • Longitud de arco
   • Vector tangente, normal y binormal
   • Curvatura
4. Gradiente, Divergencia, Rotacional y Laplaciano
   • Aplicaciones geométricas y físicas de los operadores vectoriales
   • Aplicaciones del cálculo vectorial