Cálculo Diferencial

El cálculo diferencial se consolidó como disciplina matemática principalmente en los siglos XVI y XVII cuando Kepler (1571-1630), Galileo (1564-1642) y Newton (1642-1727) entre otros, intentaron describir la velocidad instantánea de un cuerpo en movimiento, aunque ya en la antigüedad griega Arquímedes había planteado la versión geométrica de ese problema de mecánica cual es el problema de la recta tangente a una curva en un punto. Mediante el uso de razones de cambio fue posible calcular velocidades y aceleraciones y definir la recta tangente a una curva pero también resolver problemas de tipo práctico como por ejemplo, determinar cuando dos planetas estarían mas cercanos o mas lejanos entre sí. Con el paso del tiempo las posibilidades de aplicación del cálculo se han ampliado.

Temario

Derivadas
- Definición de la derivada
- Interpretación geométrica y física de la derivada
- Derivada de la función constante, derivada del producto de una constante por una función, derivada de la función xn cuando n es un entero positivo, y cuando n es un número real, derivada de una suma de funciones, derivada de un producto de funciones y derivada de un cociente de funciones.
- Derivada de las funciones exponenciales
- Derivada enésima (n)
- Derivada de las funciones trigonométricas
- Derivada de las funciones compuestas (regla de la cadena)
- Derivada de la función inversa
- Derivada de las funciones logarítmicas
- Derivada de las funciones trigonométricas inversas
- Derivada de las funciones implícitas
- Derivadas sucesivas
- Funciones hiperbólicas y sus derivadas
- Teorema del valor medio y teorema de Rolle
Aplicaciones de la derivada
- Recta tangente, normal e intersección de curvas.
- Máximos y mínimos(criterio de la primera derivada)
- Máximos y mínimos (criterio de la segunda derivada.)
- Funciones crecientes y decrecientes
- Concavidades y puntos de inflexión
- Estudio general de curvas
- Derivada como razón de cambio y aplicaciones
- Problemas de aplicación (optimización y cinemática)
- Regla de L`Hôpital
Cálculo Diferencial
- Definición de diferencial
- Incrementos y diferenciales, su interpretación geométrica.
- Teoremas típicos de diferenciales
- Cálculo de diferenciales.
- Cálculo de aproximaciones usando la diferencial.
Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
- Definiciones (Ecuación diferencial, orden, grado, linealidad)
- Soluciones de las ecuaciones diferenciales
- Problema del valor inicial
- Teorema de existencia y unicidad.
- Variables separables y reducibles
- Exactas y no exactas, factor integrante
- Ecuaciones lineales
- Ecuación de Bernoulli
- Sustituciones diversas.
- Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden
Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden Superior
- Definición de ecuación diferencial de orden n
- Problema del valor inicial
- Teorema de existencia y unicidad de solución única
- Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas.
- Principio de superposición.
  - Dependencia e independencia lineal, wronskiano.
- Solución general de las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas.
  - Reducción de orden de una ecuación diferencial lineal de orden dos a una de primer orden, construcción de una segunda solución a partir de otra ya conocida
  - Ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes.
    - Ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes de orden dos.
    - Ecuación característica(raíces reales y distintas, raíces reales e iguales, raíces complejas conjugadas).
- Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior.
- Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas.
  - Solución general de las ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas.
  - Solución de las ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas (coeficientes indeterminados, método de la superposición, método de operador anulador).
  - Solución de las ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas por el método de variación de parámetros.
  - Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden
Ecuaciones diferenciales parciales
- Definición de derivadas parciales de funciones de dos variables, así como su interpretación geométrica
- Definiciones (ecuación diferencial parcial, orden y linealidad)
- Forma general de una ecuación diferencial parcial de segundo orden.
- Clasificación de ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden#* Método de solución de las ecuaciones diferenciales parciales(directos, equiparables con las ordinarias, separación de variables)
- Incrementos, diferenciales y regla de la cadena
- Derivación parcial implícita
- Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales parciales

Bibliografía recomendada

C

Cálculo I. Larson, Hostetler, Edwards. Octava Edición. Ed. Mc Graw Hill.
Cálculo de una variable. Stewart James. Cuarta Edición. Ed. Mc Graw Hill.
El Cálculo. Leithold, Louis. Septima Edición. Ed. Oxford.

Véase también