Arcoseno

Definición

La función seno es estrictamente creciente y continua si se restringe al intervalo $\left[-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right]$. En ese caso a cada número b del intervalo $[-1;1]$ le corresponde un único número de $\left[-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right]$ tal que :

$\operatorname {sen} a=b$.

Notamos entonces :

$a=\operatorname {arcsen} b$

Hemos trazado la curva de arcoseno en $[-1;1]$. Esta se deduce de la de seno al ser simétrica respecto a la bisectriz del primer cuadrante.

Variaciones

La función arcsen está estrictamente restringida en el intérvalo [-1;1].

Tabla de variación

x	$-1$ $+1$
$\operatorname {arcsen}$	$+{\frac {\pi }{2}}$ $\nearrow$ $-{\frac {\pi }{2}}$

Derivada

Teorema

La función Arcsin es derivable en ]-1;1[

$\operatorname {Arcsin} '(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

Demostración

Por definición:

$\forall x\in [-1;+1],~\sin(\operatorname {Arcsin} \;x)=x$

En derivada en relación,encontramos:

$\cos(\operatorname {Arcsin} \;x)\cdot \operatorname {Arcsin} '\;x=1$

Donde :

$\operatorname {Arcsin} 'x={\frac {1}{\cos(\operatorname {Arcsin} \;x)}}$

Sabemos que, para todo ángulo θ, $\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1$ donde $\cos x={\sqrt {1-\sin ^{2}x}}$

Finalmente:

$\operatorname {Arcsin} 'x={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$, esta fórmula es válida en ]-1 ; 1[.