Área triangular

El área triangular es sencillamente el área de un triángulo, el área triangular se caracteriza de las otras áreas de figuras planas por que es la única que tiene tantas fórmulas, además de casos particulares de áreas y también que a partir de las áreas se desprenden ecuaciones para hallar su inradio, exradio, circunradio, altura, base , ángulos e incluso lados.

Formulas para hallar el área triángularEditar

Fórmula general para triángulos rectángulosEditar

El área triangular es igual a la mitad del producto resultante entre la base y la altura ´

 

Donde:

b: base

h: altura

Fórmula en función de los ladosEditar

Permite hallar el área de cualquier triángulo conociendo la longitud de sus lados (no se necesita conocer la altura). También conocida como Fórmula de Herón.

 


Donde

s:semiperímetro

 

Fórmula en función del circunradioEditar

El área de un triángulo es igual a el producto de sus lados entre en cuádruple de su circunradio


 


Donde:

R: circunradio.

Fórmula en función del inradioEditar

El área de un triángulo es igual al producto resultante entre el semi-perímetro y el inradio.


 


Donde: r:inradio

 

Fórmula en función del exradioEditar

El área de un triángulo es igual al producto resultante entre el exradio y el semiperímetro menos el lado relativo al exradio.

 

Donde:


ra, rb, rc: exradios relativos a los lados a,b y c

 

Fórmula en función del inradio y de los exradiosEditar

El área de un triángulo es igual a la raíz cuadrada del producto resultante entre todos los exradios y el inradio


 

Fórmulas trigonométricasEditar

Fórmula en función de dos lados y el ángulo entre ellosEditar

El área de un triángulo es igual a la mitad del producto resultante entre dos de sus lados por el seno del ángulo que esta entre los dos lados.

 

Fórmula en función del circunradio y de los senos de los ángulos del triánguloEditar

El área de un triángulo es igual al producto resultante entre los senos de los ángulos del triángulo por el doble del circunradio al cuadrado.

 

Casos particularesEditar

Triángulo equiláteroEditar

El área de un triángulo equilátero es igual al lado al cuadrado por la raíz de tres entre cuatro, también es igual a la altura al cuadrado por la raíz de tres entre tres.

 

Fórmulas para un Triángulo rectánguloEditar

En función de los catetosEditar

En un triángulo rectángulo el área es igual a la mitad del producto de los catetos.

 

Donde:

a,c: catetos A: Area

En función de inradio y el exradio relativo a al hipotenusaEditar

 

Donde:

ra: exradio relativo a la hipotenusa

En función de los exradios relativos a los catetosEditar

 

Donde:

rb, rc: exradios relativos a los catetos

En función de m y nEditar

 

Donde:

m, n: segmentos de la base partidos por la circunferencia inscrita

Teoremas complementariosEditar

Teorema de PonceletEditar

En un triángulo rectángulo la suma de los catetos es igual a la suma de la hipotenusa con el doble del inradio.

 

Teorema de los exradiosEditar

La suma de las inversas de los exradios es igual a la inversa del inradio.

 

Teorema de las alturasEditar

La suma de las inversas de las alturas es igual a la inversa del inradio

 

Teorema del exradio y las alturasEditar

En todo triángulo se cumple la siguiente relación entre exradios y alturas:

 


 


 

Teorema de SteinerEditar

Para todo triángulo se verifica: